Triunghiurile OAB si OCD sunt dreptunghice in O si isoscele, iar punctele B,O,D sunt coliniare, O apartine (BD) si O apartine (AC).
Daca M apartine (BC) astfel incat OM perpendicular pe BC, iar {P}=OM intersectat cu AD, atunci P este mijlocul lui [AD] ??
MULTUMESC!
Problema - triunghiuri dreptunghice isoscele
-
flavia_lautaru
- utilizator
- Mesaje: 54
- Membru din: 12 Sep 2007, 13:17
Demonstratia
Presupunem ca ati facut figura.
Demonstratia este urmatoarea:
Vom lucra cu unghiuri.
Pentru a arata ca P este mihlocul ipotenuzei AD a triunghiului dreptunghic OAD, va fi suficient sa aratam ca unghiul POD este congruent cu unghiul PDO. (Intr-adevar, asta ar insemna ca triunghiul OPD este isoscel, adica OP=PD. De asemenea, unghiurile POA si PAO fiind complementele lui POD si PDO, vom avea si triunghiul POA isoscel, adica PO=PA. In consecinta PD=PO, de unde concluzia ca P este mijlocul lui AD).
Ramane deci sa aratam ca unghiul POD este congruent cu unghiul PDO.
Avem:
unghiul POD = unghiul BOM (op. la varf)
unghiul PDO = unghiul OCB (din congruenta evidenta a triunghiurilor AOD si BOC)
Dar unghiul BOm este congruent cu unghiul OCB (ambele fiind complementare cu unghiul CBO).
Cu aceasta, demonstratia este incheiata !
Demonstratia este urmatoarea:
Vom lucra cu unghiuri.
Pentru a arata ca P este mihlocul ipotenuzei AD a triunghiului dreptunghic OAD, va fi suficient sa aratam ca unghiul POD este congruent cu unghiul PDO. (Intr-adevar, asta ar insemna ca triunghiul OPD este isoscel, adica OP=PD. De asemenea, unghiurile POA si PAO fiind complementele lui POD si PDO, vom avea si triunghiul POA isoscel, adica PO=PA. In consecinta PD=PO, de unde concluzia ca P este mijlocul lui AD).
Ramane deci sa aratam ca unghiul POD este congruent cu unghiul PDO.
Avem:
unghiul POD = unghiul BOM (op. la varf)
unghiul PDO = unghiul OCB (din congruenta evidenta a triunghiurilor AOD si BOC)
Dar unghiul BOm este congruent cu unghiul OCB (ambele fiind complementare cu unghiul CBO).
Cu aceasta, demonstratia este incheiata !