probleme de numarare.Scrierea nr.naturale in baza 10

[otilix]

1)determinati nr de forma abc stiind ca a+1=b=c-1
2)ordonati crescator nr naturalea,b,c,d,e,f stiind ca:a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
3)determinati nr de trei cifre astfel incat suma cifrelor lor este egala cu produsul cifrelor
Multumesc anticipat

[crs12decoder]

1)determinati nr de forma abc stiind ca a+1=b=c-1
2)ordonati crescator nr naturalea,b,c,d,e,f stiind ca:a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
3)determinati nr de trei cifre astfel incat suma cifrelor lor este egala cu produsul cifrelor
Multumesc anticipat

1.
a+1=b=c-1

a+1=b => a si b sunt numere consecutive. Ex: 12,23,34 etc
---
b=c-1 => b+1=c => b si c sunt tot numere consecutive.

=> a,b,c sunt numere consecutive ordonate crescator.
=> numerele sunt 123,234,345,...,789;
---------
2)ordonati crescator nr naturalea,b,c,d,e,f stiind ca:a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
---
a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13

daca a+3=b-8 => a=b-11.

acum spre exemplu a=b-11 => b>a. Daca esti nevoit sa scazi ceva din numarul b ca rezultatul sa fie egal cu a => b era mai mare decat a.
a+11=b => b>a. Daca esti nevoit sa adaugi ceva la a ca sa-ti dea b => b>a.

Ne intereseaza sa ordonam crescator. adica de forma 1<2<7<11... Deci toate semnele trebuie sa fie "<"

Din exemplul a+11=b => a<b
sa alaturam a+3=b-8=c+9
Se observa ca a<b pentru ca b=a+11
Se observa ca c<b pentru ca b=c+17
De asemenea a+3=c+9 => a=c+6 deci a>c
Am avea:
a<b, c<b, a>c => b>a>c. si scris in ordine crescatoare: c<a<b.

Cum oamenii au un talent format inca de mici spre a sorta numere se poate crea urmatoarea scurtatura:
avem: a+3=b-8=c+9.
Adunam la expresia asta un numar arbitrar, astfel incat toata expresia sa contina doar semnul plus.
De exemplu putem adauga 10 la expresia de mai sus.
a+3=b-8=c+9 / +10
=> a+13=b+2=c+19
Si acum se pot sorta a,b,c mult mai usor fiind nevoie doar sa punem in ordine descrescatoare numerele de dupa operatorul +.
Cum 19>13>2 => c<a<b.
este destul de intuitiv deoarece daca la un numar trebuie sa adaugi o valoare mai mare decat la toate celelalte numere ca sa pastrezi egalitatea dintre ele => acest numar este cel mai mic dintre toate.

Se aplica acelasi procedeu pentru intreaga expresie:
a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
adunam sa zicem 100 la toata expresia
=> a+103=b+92=c+109=d+91=e+114=f+87
114>109>103>92>91>87
=>e<c<a<b<d<f
-------------
3)determinati nr de trei cifre astfel incat suma cifrelor lor este egala cu produsul cifrelor

Nu am reusit sa gasesc o solutie simpla la aceasta problema... Poate e cineva care cunoaste mai bine.
Solutia propusa de mine:
a+b+c=a*b*c.
=> c=(a+b)/(ab-1).
c variaza intre 1 si 9.
Pentru c=1=>a+b=ab-1
Pentru c=2=>a+b=2(ab-1)
...
Pentru c=n=>a+b=n(ab-1)
=>b=nab-n-a
=>b-nab=-a-n / * (-1)
=>nab-b=a+n
=>b(na-1)=a+n
=>b=(a+n)/(na-1)

Pentru n=c=1:
->b=(a+1)/(a-1);
Pentru a=1 => b=(1+1)/(1-1)=2/0 => nu se poate
Pentru a=2 => b=(1+2)/(2-1)=3/1=3 => solutia 1: c=1,a=2,b=3;
Pentru a=3 => b=(1+3)/(3-1)=4/2=2 => solutia 2: c=1, a=3, b=2;
Pentru a=4 => b=(1+4)/(4-1)=5/3 => nu se poate
Pentru a=5 => b=(1+5)/(5-1)=6/4=3/2 => nu se poate
Pt a=6 => b=(1+6)/(6-1)=7/5 => nu se poate
Pt. a=7 => b=8/6=4/3 => nu se poate
Pt a=8 => b=9/7 => nu se poate
Pt. a=9 => b=10/8=5/4 => nu se poate.

Pt. n=c=2
-> b=(a+2)/(2*a-1);
a=1 => b=3/1 = 3 => solutia: c=2,a=1,b=3;
a=2 => b=4/3 => nu se poate
a=3 => b=5/5=1 => solutia: c=2,a=3,b=1;
a=4 => b=6/7 => subunitar deci nu se poate
in continuare se poate arata ca functia este subunitara pentru oricare a intre 4 si 9 inclusiv

Pt. n=c=3
-> b=(a+3)/(3*a-1)
a=1 => b=4/2=2 => solutia: c=3,a=1,b=2;
a=2 => b=5/5=1 => solutia: c=3,a=2,b=1;
a=3 => b=6/8 => subunitar => nu se poate
=> se poate arata in continuare ca functia b=(a+3)/(3*a-1) este subunitara pentru a in intervalul [3,9].

In continuare avem functia:
b=(a+n)/(na-1) cu n apartine intervalului [4,9]
Se arata ca functia este subunitara pentru valorile lui a apartinand intervalului [2,9].
Raman de testat valorile pentru a=1, si c>=4
=>
c=4,a=1 => b=(1+4)/(4-1)=5/3 -> nu
c=5,a=1 => b=(1+5)/(5-1)=6/4=3/2 -> nu
c=6,a=1 => b=(1+6)/(6-1)=7/5 ->nu
c=7,a=1 => b=8/6=4/3=>nu
c=8,a=1 => b=9/7 => nu
c=9,a=1 => b=10/8=5/4 => nu.

Deci singurele valori sunt permutarile multimii {1,2,3}.
deci: 123,132,213,231,312,321.