O problema din gazeta

[albert.einstein]

Determinati numerele naturale nenule a, b, c stiind ca

2010/(a+b)=2011/(a+c)=2012/(b+c) si 4(b-a)^2+9(c-b)^2+25(c-a)^2=452

Am facut si eu ceva la problema dar nu prea sunt sigura daca e bine:

2010/(a+b)=2011/(a+c)=2012/(b+c)=k rezulta:
k(a+b)=2010 (*)
k(a+c)=2011 (**)
k(b+c)=2012 (***)
Din (*) (**) (***) rezulta ca k este un divizor comun pentru 2010, 2011 si 2012, dar (2010,2011,2012)=1 [pentru ca numerele sunt consecutive] rezulta k=1 rezulta ca
a+b=2010
a+c=2011
b+c=2012
Daca adunam relatiile avem 2(a+b+c)=6033 rezulta a+b+c=6033/2 rezulta ca cel putin unul dintre numere nu aparine N
//acum eu nu sunt sigura daca e bine pentru ca k nu e neaparat natural si..
Am mai observat faptul ca 4(b-a)^2+9(c-b)^2+25(c-a)^2=452 se poate scrie astfel: (2b-2a)^2+(3c-3b)^2+(5c-5a)^2=452

[A_Cristian]

De ce ai tras concluzia ca raportul ar fi tot un numar natural?

[albert.einstein]

De ce ai tras concluzia ca raportul ar fi tot un numar natural?

pai am zis daca ar fi k natural, ca tocmai aici nu eram sigura daca e bine, daca ai vreo idee te rog sa imi spui, eu voi incerca sa o refac si daca reusesc sa ajung intr-un final la un rezultat care o sa mi se para corect.

[albert.einstein]

De ce ai tras concluzia ca raportul ar fi tot un numar natural?

pai am zis daca ar fi k natural, ca tocmai aici nu eram sigura daca e bine, daca ai vreo idee te rog sa imi spui, eu voi incerca sa o refac si daca reusesc sa ajung intr-un final la un rezultat care o sa mi se para corect il voi pune aici.

[A_Cristian]

Ce poti spune despre c-b si c-a in raport cu restul impartirii la 2?
Ce relatie de inegalitate ai intre a,b si c?
Ce valori poate lua c-a?

[albert.einstein]

Ce poti spune despre c-b si c-a in raport cu restul impartirii la 2?
Ce relatie de inegalitate ai intre a,b si c?
Ce valori poate lua c-a?

in final am resusit.