problema olimpiada

Divizibilitate (cmmdc, cmmmc). Operatii cu fractii pozitive. Rapoarte si proportii. Numere intregi. Puncte, drepte. Unghiuri. Congruenta triunghiurilor. Perpendicularitate. Paralelism. Linii importante. Paralelogramul.
albert.einstein
junior
junior
Mesaje: 174
Membru din: 20 Iun 2015, 14:15

problema olimpiada

Mesaj de albert.einstein » 01 Mar 2016, 16:24

Sa se afle x si y stiind ca x<y si x^2+y^2+x^2*y^2=504^4+3

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1975
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 01 Mar 2016, 17:32

Asa cum ai scris problema, nu exista solutii in multimea numerelor intregi.
LE: Afirmatie gresita.
Ultima oară modificat 02 Mar 2016, 13:36 de către A_Cristian, modificat 1 dată în total.

albert.einstein
junior
junior
Mesaje: 174
Membru din: 20 Iun 2015, 14:15

Mesaj de albert.einstein » 01 Mar 2016, 18:01

A_Cristian scrie:Asa cum ai scris problema, nu exista solutii in multimea numerelor intregi.
si cum arat asta?

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1975
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 01 Mar 2016, 20:25

Pasul 1. Arata ca daca x si y cu acea proprietate, atunci ambele trebuie sa fie impare.

albert.einstein
junior
junior
Mesaje: 174
Membru din: 20 Iun 2015, 14:15

Mesaj de albert.einstein » 01 Mar 2016, 21:40

A_Cristian scrie:Pasul 1. Arata ca daca x si y cu acea proprietate, atunci ambele trebuie sa fie impare.
poate fi si unul dintre numere par si celalalt impar?

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1975
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 02 Mar 2016, 09:35

Nu. Asta se poate demonstra usor.

PS: Demonstraza ca orice patrat perfect este de forma 4k sau 4k+1.
LE: Afirmatia mea din al doilea post nu este corecta. Din pacate am gresit la calcule si am facut o afirmatie incorecta. Imi cer scuze daca te-am pus pai cai gresite.
Este posibil sa existe numere cu acea proprietate.

Nu stiu daca echivelanta urmatoare este mai buna. x^2+y^2+x^2*y^2=504^4+3 <==>(x^2+1)(y^2+1)=504^4+4. Este clar ca factorizand 504^4+4 se obtin toate solutiile posibile. Consider insa ca o astfel de problema trebuie sa aiba o solutie mai eleganta.

Scrie răspuns