Ajutor

Adrianohh · Mesaj de **Adrianohh** » 18 Apr 2016, 20:31

Buna seara!
Se da proportia (x-z)/y=x/(y+z+1). x,y,z sunt numere naturale si y este diferit de 0. Aratati ca 100x+101y-301z mai mare sau egal cu 101.
(Am demonstrat ca 100x+101y-201z mai mare sau egal cu 101, dar nu stiu cum sa continui).
Multumesc.

SDoIT · Mesaj de **SDoIT** » 21 Apr 2016, 22:14

Stim ca $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{c-a}{d-b}$ . Aplicind aceasta proprietate obtinem $\frac{x-z}{y}=\frac{x}{y+z+1}=\frac{z}{z+1}$

Avem deci $\frac{x-z}{y}=\frac{z}{z+1}$ , termenii fiind numere naturale.
Daca z=0, rezulta x=0 si inegalitatea de demonstrat este adevarata (y fiind numar natural diferit de 0).
Daca z diferit de 0, fractia din membrul drept este ireductibila (z si z+1 fiind numere naturale vecine, deci prime intre ele)
Fractia din membrul sting este ori chiar fractia din membrul drept, ori o fractie ce se obtine amplificind fractia din membrul drept cu un numar natural. De aici rezulta ca
$x-z\geq z$ si $y\geq z+1$
Inmultind prima inegalitate cu 100 iar a doua cu 101, obtinem
$100x-200z\geq 0$ si
$101y-101z\geq 101$

Adunind cele doua inegalitati: $100x+101y-301z\geq 101$