Problema fractii ordinare Gazeta Matematica

[Alexxandra]

Se da fractia 2x+3/2x-7, cu x numar natural. Fie x1, x2, ...x1000 primele 1000 de numere naturale pentru care fractia se simplifica.
a)Calculati x1000
b)Aratati ca xp+xq-xp+q-1=1, oricare ar fi p, q apartin multimii {1, 2, ...1000}
p si q sunt indici in egalitate
La a am facut asa:
Fie d un numar natural diferit de 0 astfel incat 2x+3|d si 2x-7|d, deci d|2x+3-2x+7, deci d|10, deci d este de forma 10k, unde k este numar natural.
Aici m-am impotmolit. Ma poate ajuta cineva? Multumesc.

[PhantomR]

ATENTIE! inseamna ca este un divizor al lui zece, deci . Acum, noi cautam numerele pentru care fractia se simplifica, deci ne intereseaza doar acele numere pentru care . Dar sa observam ca atat numitorul, cat si numaratorul sunt mereu numere impare, deci trebuie neaparat ca sa fie (caci le divide pe acestea).

Daca punem conditia avem si . Deci numereele pe care cautam sunt numerele pentu care e indeplinita conditia . Pentru nu se poate (). Pentru avem , deci primul numar cautat se obtine cand si atunci numerele sunt .

Folosind aceasta formula se pot demonstra a) si b). Cu drag.

[Alexxandra]

Multumesc mult pentru ajutor. In cele din urma am finalizat.