Divizibilitate

albert.einstein · Mesaj de **albert.einstein** » 05 Iun 2016, 11:06

Arătati ca numarul A=3(n^2016-n^1008)+2 nu se divide cu 7, oricare ar fi n număr natural

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 05 Iun 2016, 18:37

O varianta este sa incercati cu rezultatul $(a\pm b)^{2k} = M_a + b^{2k}$ si $(a\pm b)^{2k+1}= M_a\pm b^{2k+1}$ , luand pe rand $n=7k,7k+1...$ . Se poate simplifica destul de mult calculul observand ca am putea lua in loc $n=7k,7k\pm 1, 7k\pm 2, 7k\pm3$ si deci avem de studiat urmatoarele posibilitati pt expresia din paranteza: $0^{2016}-0^{1008}, 1^{2016}-1^{1008}, 2^{2016}-2^{1008}, 3^{2016}-3^{1008}$ . Pt primele doua, expresia din paranteza e deci multiplu de $7$ . Pentru cea cu $2$ putem folosi faptul ca $2^3=8=7+1$ si obtinem iar multiplu de $7$ . Pentru cea cu trei avem $3^3=27=28-1$ si se obtine iar multiplu de $7$ .

Deci in fiecare caz, numarul dat este de forma $7p+2$ , adica nu se divide cu sapte.

NOTA: Nu este neaparat nevoie sa faceti cu $3^3$ , desi pare ca asa e mai rapid.. se poate de exemplu cu $3^2=9=7+2$ si se aplica un rationament pentru puterile lui $2$ (cel cu $2^3$ cred ca va functiona).

albert.einstein · Mesaj de **albert.einstein** » 05 Iun 2016, 18:39

PhantomR scrie:O varianta este sa incercati cu rezultatul $(a\pm b)^{2k} = M_a + b^{2k}$ si $(a\pm b)^{2k+1}= M_a\pm b^{2k+1}$ , luand pe rand $n=7k,7k+1...$ . Se poate simplifica destul de mult calculul observand ca am putea lua in loc $n=7k,7k\pm 1, 7k\pm 2, 7k\pm3$ si deci avem de studiat urmatoarele posibilitati pt expresia din paranteza: $0^{2016}-0^{1008}, 1^{2016}-1^{1008}, 2^{2016}-2^{1008}, 3^{2016}-3^{1008}$ . Pt primele doua, expresia din paranteza e deci multiplu de $7$ . Pentru cea cu $2$ putem folosi faptul ca $2^3=8=7+1$ si obtinem iar multiplu de $7$ . Pentru cea cu trei avem $3^3=27=28-1$ si se obtine iar multiplu de $7$ .

Deci in fiecare caz, numarul dat este de forma $7p+2$ , adica nu se divide cu sapte.

NOTA: Nu este neaparat nevoie sa faceti cu $3^3$ , desi pare ca asa e mai rapid.. se poate de exemplu cu $3^2=9=7+2$ si se aplica un rationament pentru puterile lui $2$ (cel cu $2^3$ cred ca va functiona).

Multumesc mult!

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 05 Iun 2016, 18:40

Cu drag