Numere prime

[dorin23]

Aflati numerele naturale n pentru care fiecare dintre numerele n+1 , n+3 , n+7 , n+9 , n+15 este numar prim.

Va rog sa ma ajutati.

[A_Cristian]

Ideea este sa te gandesti la un numar care divide cel putin unul din numerele date. Evident, acel numar nu poate fi mai mare de 6.

[dorin23]

aha , pai asa ar fi n=4 spre exemplu , toate sunt prime pentru n=4.
Dar de ce nu poate fi acel numar mai mare ca 6?

[A_Cristian]

Reformulez. Cautam un numar x pentru care divide cel putin unul din numerele date, adica n+1,..,n+15. Avand doar 5 numere date, este evident ca x nu poate fi mai mare de 5. Despre acest x spuneam ca nu poate fi mai mare.

Pentru x=2 nu putem spune nimic. Singura constrangere este ca n sa fie par.

Pentru x=3 iar nu putem spune mare lucru. Constrangerea este ca n sa fie de forma 3k+1. Insa nu putem obtine constrangeri suplimentare.

samd

[ict]

Metoda de rezolvare a acestui tip de probleme consta în găsirea solutiei prin încercări . Apoi se arata ca acea solutie este unică.
Asa cum ai observat n=4 îndeplineste cerinta problemei.

Numerele naturale mai mari decât 4 se pot scrie astfel: 5k , 5k+1 , 5k+2 , 5k+3 respectiv 5k+4

Înlocuind aceste valori obtinem

n=5k rezultă n+15=5k+15=5(k+3) divizibil cu 5
n=5k+1 rezultă n+9=5k+10=5(k+2) divizibil cu 5
n=5k+2 rezultă n+3=5k+5=5(k+1) divizibil cu 5
n=5k+3 rezultă n+7=5k+10=5(k+2) divizibil cu 5
n=5k+4 rezultă n+1=5k+5=5(k+1) divizibil cu 5

Deci n=4 este solutie unică

[ict]

De fapt toate numerele naturale se pot scrie asa nu numai cele mai mari decât 4