numere prime si patrate perfecte

[Roxana Manole]

Fie p un numar prim si k un numar natural nenul. Sa se determine multimea A={n apartine N |numarul n^2+2np^k este patrat perfect}

[gigelmarga]

Fie p un numar prim si k un numar natural nenul. Sa se determine multimea A={n apartine N |numarul n^2+2np^k este patrat perfect}

Am considerat n nenul si p>2. Atunci

Indicatie: studiati cazul k=1.

Care e sursa problemei?

[Roxana Manole]

Nu reusesc sa identific algoritmul sau artificiul prin care ati ajuns la solutie.
Eu am tot incercat metodele clasice de rezolvare, cu binom la patrat si diferenta de patrate. Dar nu iese nimic.

Daca am dat lui k valoarea 1, s=1, atunci n=1, contravine ipotezei.

n^2 + 2np^k + p^2k - p2k = a^2 unde a apartine N
(n + pk )^2 - p^2k = a^2 apoi diferenta de patrate si...nimic
Daca mi-ati putea da un "start" poate as reusi sa pornesc

[Roxana Manole]

Nu reusesc sa identific algoritmul sau artificiul prin care ati ajuns la solutie.
Eu am tot incercat metodele clasice de rezolvare, cu binom la patrat si diferenta de patrate. Dar nu iese nimic.

Daca am dat lui k valoarea 1, s=1, atunci n=0, contravine ipotezei.

n^2 + 2np^k + p^2k - p2k = a^2 unde a apartine N
(n + pk )^2 - p^2k = a^2 apoi diferenta de patrate si...nimic
Daca mi-ati putea da un "start" poate as reusi sa pornesc

[gigelmarga]

Sa presupunem k=1. Avem de aflat n>0 pentru care n^2+2np e patrat perfect.

Daca p |n, fie n=pm. Obtinem (pm)^2+2p^2m=p^2(m^2+2m).
Acesta nu poate fi evident patrat.

Daca p nu divide n: sa presupunem n^2+2np=(n+a)^2. Obtinem
a^2+2na-2np=0. Ecuatia de gradul 2 in a trebuie sa aiba solutii intregi, deci discriminantul trebuie sa fie patrat perfect.

Deducem ca exista u astfel ca n^2+2np=u^2, echivalent cu (n+p)^2-u^2=p^2, sau (n+p+u)(n+p-u)=p^2.
Folosind ipoteza, rezulta ca n+p+u=p^2 iar n+p-u=1, de unde 2n=p^2-2p+1, deci n=(p-1)^2/2.

Care e sursa problemei?

[Roxana Manole]

Cred ca Gazeta matematica. Nu stiu nr.si clasa.

[Roxana Manole]

Am continuat rationamentul pentru cazul general, k=s
Am luat in considerare doar cazul II, p nu divide n
Obtin solutia n=1/2(p^s -1)^2
Nu stiu de ce l-am pierdut pe p^(k-s) din solutia dvs.
Mai trebuia pusa o conditie ?( nu o vad)

[gigelmarga]

Asta e inacceptabil: pe site să spuneţi că problema e, probabil, din GM, dar nu ştiţi numărul, iar într-un mesaj personal, pe care, desigur, nu-l pot publica, indiferent de împrejurări, îmi daţi alte informaţii.

Vor fi, sper, alţi utilizatori care vă vor ajuta. Cele bune!

[Integrator]

Fie p un numar prim si k un numar natural nenul. Sa se determine multimea A={n apartine N |numarul n^2+2np^k este patrat perfect}

Am considerat n nenul si p>2. Atunci

Indicatie: studiati cazul k=1.

Care e sursa problemei?

Nu-nteleg!Dacă , atunci care este valoarea lui ?

[Roxana Manole]

Ca sa nu existe suspiciuni in caz ca alti utilizatori citesc topicul, postez mesajul privat omitand numele profesorului care a propus exercitiul spre rezolvare, in cadrul unui program de conversie.
Se poate vedea ca nu am scris altceva.
"Cred ca e din Gazeta matematica. Nu am stiut la ce clasa sa o incadrez
Multumesc pt.raspuns.
Incerc sa inteleg si sa continui."
Cu multumiri pentru sprijinul acordat si cu scuze ca v-am suparat.
Nu asta mi-a fost intentia

[gigelmarga]

Ca să se înţeleagă mai bine, am să adaug un fragment din mesaj pe care l-aţi omis.

"E propusa de dl.P*****, pentru examenul de absolvire."