Problema GREA

albert.einstein · Mesaj de **albert.einstein** » 03 Iul 2016, 12:52

Buna ziua! Ma chinui de foarte mult timp sa rezolv aceasta problema:
Prin mijlocul M al laturii [BC] a triunghiului ABC trece o dreapta care imparte perimetrul triunghiului ABC in doua parti egale. Demonstrati ca aceasta dreapta este paralela cu bisectoarea unghiului BAC.
Daca stiti cum se rezolva, va rog frumos sa ma ajutati.
Multumesc frumos!

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 03 Iul 2016, 14:53

albert.einstein scrie:Buna ziua! Ma chinui de foarte mult timp sa rezolv aceasta problema:
Prin mijlocul M al laturii [BC] a triunghiului ABC trece o dreapta care imparte perimetrul triunghiului ABC in doua parti egale. Demonstrati ca aceasta dreapta este paralela cu bisectoarea unghiului BAC.
Daca stiti cum se rezolva, va rog frumos sa ma ajutati.
Multumesc frumos!

O idee:
Fie $BC=a$ , $AC=b$ , $AB=c$ , $MB=MC=\frac{a}{2}$ si $N\in AC$ , $NC=x$ , $NA=y$ unde $MN$ este dreapta care împarte perimetrul triunghiului $ABC$ în două părti egale , atunci rezultă $x+y=b$ , $x-y=c$ cu necunoscutele $x=\frac{b+c}{2}$ si $y=\frac{b-c}{2}$ .
Fie $AA'$ bisectoarea unghiului $BAC$ unde $A'\in BC$ , atunci conform teoremei bisectoarei putem scrie $\frac{BA'}{A'C}=\frac{BA'}{a-BA'}=\frac{c}{b}$ ceea ce este echivalent cu $\frac{BA'}{a}=\frac{c}{b+c}$ de unde rezultă $BA'=\frac{ac}{b+c}$ .
Dacă $\frac{x}{y}=\frac{MC}{MA'}$ atunci dreptele $MN$ si $AA'$ sunt paralele.
Deoarece $\frac{x}{y}=\frac{b+c}{b-c}$ si $\frac{MC}{MA'}=\frac{a}{a-2BA'}=\frac{a(b+c)}{a(b-c)}=\frac{b+c}{b-c}$ atunci asta înseamnă ca dreptele $MN$ si $AA'$ sunt paralele.

albert.einstein · Mesaj de **albert.einstein** » 03 Iul 2016, 15:13

Integrator scrie:
albert.einstein scrie:Buna ziua! Ma chinui de foarte mult timp sa rezolv aceasta problema:
Prin mijlocul M al laturii [BC] a triunghiului ABC trece o dreapta care imparte perimetrul triunghiului ABC in doua parti egale. Demonstrati ca aceasta dreapta este paralela cu bisectoarea unghiului BAC.
Daca stiti cum se rezolva, va rog frumos sa ma ajutati.
Multumesc frumos!
O idee:
Fie $BC=a$ , $AC=b$ , $AB=c$ , $MB=MC=\frac{a}{2}$ si $N\in AC$ , $NC=x$ , $NA=y$ unde $MN$ este dreapta care împarte perimetrul triunghiului $ABC$ în două părti egale , atunci rezultă $x+y=b$ , $x-y=c$ cu necunoscutele $x=\frac{b+c}{2}$ si $y=\frac{b-c}{2}$ .
Fie $AA'$ bisectoarea unghiului $BAC$ unde $A'\in BC$ , atunci conform teoremei bisectoarei putem scrie $\frac{BA'}{A'C}=\frac{BA'}{a-BA'}=\frac{c}{b}$ ceea ce este echivalent cu $\frac{BA'}{a}=\frac{c}{b+c}$ de unde rezultă $BA'=\frac{ac}{b+c}$ .
Dacă $\frac{x}{y}=\frac{MC}{MA'}$ atunci dreptele $MN$ si $AA'$ sunt paralele.
Deoarece $\frac{x}{y}=\frac{b+c}{b-c}$ si $\frac{MC}{MA'}=\frac{a}{a-2BA'}=\frac{a(b+c)}{a(b-c)}=\frac{b+c}{b-c}$ atunci asta înseamnă ca dreptele $MN$ si $AA'$ sunt paralele.

Multumesc mult, mult, mult!

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 03 Iul 2016, 15:22

albert.einstein scrie: Multumesc mult, mult, mult!

Cu plăcere!Se învată la clasa VI-a teorema bisectoarei?

albert.einstein · Mesaj de **albert.einstein** » 08 Iul 2016, 10:25

Integrator scrie:
albert.einstein scrie: Multumesc mult, mult, mult!
Cu plăcere!Se învată la clasa VI-a teorema bisectoarei?

Nu, in cls a 7a

Forum AniDeȘcoală.ro

Problema GREA

Problema GREA

Re: Problema GREA

Re: Problema GREA

Re: Problema GREA

Re: Problema GREA