Geometrie

Cristi2002 · Mesaj de **Cristi2002** » 14 Oct 2016, 17:04

Intr-un paralelipiped dreptunghic,suma ariilor tuturor fetelor este egala cu jumatate din suma patratelor tuturor muchiilor.Aratati ca paralelipipedul este cub.

Mutumesc!

SDoIT · Mesaj de **SDoIT** » 14 Oct 2016, 18:06

Notind lungimile laturilor cu a, b, c:
-suma ariilor tuturor fetelor: $2ab+2ac+2bc$
-jumatate din suma patratelor tuturor muchiilor: $\frac{4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}}{2}=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}$
Acestea fiind egale, avem:
$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab+2ac+2bc$
$a^{2}+a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}-2ab-2ac-2bc=0$
$a^{2}-2ab+b^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0$
$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$
Un patrat este nenegativ (mai mare sau egal cu 0).
Suma unor numere nenegative poate fi 0 doar daca fiecare dintre numere e chiar 0.
Asadar avem $\left\{\begin{matrix} a-b=0\\ a-c=0 \\b-c=0 \end{matrix}\right.$ ,
adica $a=b=c$ , deci paralelipipedul dreptunghic e un cub.