derivata a doua

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 03 Dec 2016, 19:49

Care este interpretarea geometrica a derivatei a doua a unei functii?

Mesaj de DD » 06 Dec 2016, 12:10

Determina intervalele de convexitate si de concavitate ale unei functii reprezentte grafic ,cat si punctle de inflexiune.

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 06 Dec 2016, 14:42

DD scrie:Determina intervalele de convexitate si de concavitate ale unei functii reprezentte grafic ,cat si punctle de inflexiune.

stiu asta dar nu stiu care este interpretarea geonetrica

vTudor · Mesaj de **vTudor** » 09 Dec 2016, 16:47

Salutare!

Dacă prin interpretare geometrică a derivatei de ordinul II doriti ceva asemănător cu faptul că prima derivată este panta tangentei la graficul functiei într-un anumit punct, notiune de care avea nevoie Leibniz, putem proceda recursiv. Stim că derivata unei functii pe un domeniu este tot o functie. Adică:
Fie $f:R \to R$ o functie continuă si derivabilă pe tot domeniul de definitie. Putem atunci vorbi atunci de $f'(x), \forall x \in R$ .

Notăm această nouă functie cu $g$ . De asemenea, dacă functia f este de două ori derivabilă pe tot domeniul, atunci g este derivabilă pe tot domeniul, deci putem vorbi despre $g'$ pe întreg domeniul de definitie. Acum avem o derivată de ordinul întâi pentru care am precizat mai sus ce interpretare geometrică are, adică panta tangentei la grafic într-un punct arbitrar fixat. Deci, derivata de ordinul doi este panta tangentei la graficul functiei derivate unei functii date.

Însă, pentru derivata de ordinul II avem o interpretare mai importantă, pe care ne-a oferit-o de data aceasta Newton, din punct de vedere fizic. Pentru a fi mai usor de explicat, vom nota acum functia cu x(si nu cu f, g, h s.a.m.d.) care va fi de variabilă t. Întelegem astfel că este vorba de pozitia x în spatiu la momentul dat t. (În realitate acest x este de fapt tridimensional, de coordonate x,y,z, iar lucrurile se complică apărând notiuni care nu se studiază în liceu). (Ex.: $x(0) = 0$ înseamnă că la momentul 0 x se află la pozitia 0). Mai precis vom reprezenta functia într-un sistem tOx si nu xOy, cum eram obisnuiti.

Să presupunem acum că x se plimbă în timp după legea $x(t) = t^2$ . Adică x se plimbă pe parabola care are vârful în origine. Ce ar însemna în acest caz prima derivată. Păi $x'(t) = 2t = v(t)$ nu este altceva decât viteza de deplasare a punctului x într-un anumit timp. Să observăm că atunci când timpul este aproape de $-\infty$ viteza de plasare este aproape $-\infty$ . Dar cum poate un punct material să meargă cu viteză negativă? Nu prea. Deci minusul acela ne indică faptul că particula coboară cu o viteză de $-\infty$ . În cazul când t = -2 avem că viteza este $v(-2) = -4$ , deci punctul material coboară cu viteza 4 unităti de distantă/unităti de timp. Mai observăm că în la momentul t = 0, nu avem deloc viteză. Făcând paralelă cu cealaltă interpretare panta tangentei este 0. Iar pentru orice timp t > 0 avem o crestere de viteză.

Pentru a vedea cum se comportă această viteză trebuie să ne folosim acum de derivata secundă a traictoriei punctului. Adică $x''(t) = 2$ , care observăm că este constantă. Comportarea vitezei o numim acceleratie! Observăm că în cazul nostru avem o acceleratie constantă, egală cu 2. Adică la orice moment $t_0$ m-as afla, aceleratia este aceiasi.

Să ne gândim la un autoturism care merge cu o viteză constantă. Soferul acestuia observă un obstacol si frânează până la oprire, apoi în acelasi interval de timp cât a durat frânare de la constant până la 0, acesta ajunge din nou la viteza initială. Atunci viteza scade, este 0, apoi creste iar. Pe tot parcursul acestui interval de timp simetric am avut aceiasi acceleratie, doar că prima a fost o „acceleratie de frânare", pe care o putem numi „deceleratie". Deci chiar dacă acceleratia este constantă si pozitivă nu înseamnă că viteza creste mereu.

Aici este un link unde se găsesc mai multe informatii despre acest subiect, iar în jos-ul paginii sunt niste applet-uri făcute pentru o mai bună întelegere a conceptului.
https://www.mathsisfun.com/calculus/sec ... ative.html

Numai bine,
VTudor

cristinat · Mesaj de **cristinat** » 09 Dec 2016, 22:12

vTudor scrie:Salutare!

Dacă prin interpretare geometrică a derivatei de ordinul II doriti ceva asemănător cu faptul că prima derivată este panta tangentei la graficul functiei într-un anumit punct, notiune de care avea nevoie Leibniz, putem proceda recursiv. Stim că derivata unei functii pe un domeniu este tot o functie. Adică:
Fie $f:R \to R$ o functie continuă si derivabilă pe tot domeniul de definitie. Putem atunci vorbi atunci de $f'(x), \forall x \in R$ .

Notăm această nouă functie cu $g$ . De asemenea, dacă functia f este de două ori derivabilă pe tot domeniul, atunci g este derivabilă pe tot domeniul, deci putem vorbi despre $g'$ pe întreg domeniul de definitie. Acum avem o derivată de ordinul întâi pentru care am precizat mai sus ce interpretare geometrică are, adică panta tangentei la grafic într-un punct arbitrar fixat. Deci, derivata de ordinul doi este panta tangentei la graficul functiei derivate unei functii date.

Însă, pentru derivata de ordinul II avem o interpretare mai importantă, pe care ne-a oferit-o de data aceasta Newton, din punct de vedere fizic. Pentru a fi mai usor de explicat, vom nota acum functia cu x(si nu cu f, g, h s.a.m.d.) care va fi de variabilă t. Întelegem astfel că este vorba de pozitia x în spatiu la momentul dat t. (În realitate acest x este de fapt tridimensional, de coordonate x,y,z, iar lucrurile se complică apărând notiuni care nu se studiază în liceu). (Ex.: $x(0) = 0$ înseamnă că la momentul 0 x se află la pozitia 0). Mai precis vom reprezenta functia într-un sistem tOx si nu xOy, cum eram obisnuiti.

Să presupunem acum că x se plimbă în timp după legea $x(t) = t^2$ . Adică x se plimbă pe parabola care are vârful în origine. Ce ar însemna în acest caz prima derivată. Păi $x'(t) = 2t = v(t)$ nu este altceva decât viteza de deplasare a punctului x într-un anumit timp. Să observăm că atunci când timpul este aproape de $-\infty$ viteza de plasare este aproape $-\infty$ . Dar cum poate un punct material să meargă cu viteză negativă? Nu prea. Deci minusul acela ne indică faptul că particula coboară cu o viteză de $-\infty$ . În cazul când t = -2 avem că viteza este $v(-2) = -4$ , deci punctul material coboară cu viteza 4 unităti de distantă/unităti de timp. Mai observăm că în la momentul t = 0, nu avem deloc viteză. Făcând paralelă cu cealaltă interpretare panta tangentei este 0. Iar pentru orice timp t > 0 avem o crestere de viteză.

Pentru a vedea cum se comportă această viteză trebuie să ne folosim acum de derivata secundă a traictoriei punctului. Adică $x''(t) = 2$ , care observăm că este constantă. Comportarea vitezei o numim acceleratie! Observăm că în cazul nostru avem o acceleratie constantă, egală cu 2. Adică la orice moment $t_0$ m-as afla, aceleratia este aceiasi.

Să ne gândim la un autoturism care merge cu o viteză constantă. Soferul acestuia observă un obstacol si frânează până la oprire, apoi în acelasi interval de timp cât a durat frânare de la constant până la 0, acesta ajunge din nou la viteza initială. Atunci viteza scade, este 0, apoi creste iar. Pe tot parcursul acestui interval de timp simetric am avut aceiasi acceleratie, doar că prima a fost o „acceleratie de frânare", pe care o putem numi „deceleratie". Deci chiar dacă acceleratia este constantă si pozitivă nu înseamnă că viteza creste mereu.

Aici este un link unde se găsesc mai multe informatii despre acest subiect, iar în jos-ul paginii sunt niste applet-uri făcute pentru o mai bună întelegere a conceptului.
https://www.mathsisfun.com/calculus/sec ... ative.html

Numai bine,
VTudor

va multumesc mult!