Problema numere simultan compuse

Divizibilitate (cmmdc, cmmmc). Operatii cu fractii pozitive. Rapoarte si proportii. Numere intregi. Puncte, drepte. Unghiuri. Congruenta triunghiurilor. Perpendicularitate. Paralelism. Linii importante. Paralelogramul.
Alexxandra
utilizator
utilizator
Mesaje: 39
Membru din: 15 Feb 2016, 13:28

Problema numere simultan compuse

Mesaj de Alexxandra » 22 Ian 2017, 13:32

Arătaţi că există o infinitate de numere naturale n astfel încât n+1, n+2, n+3, n+4 să fie simultan compuse. (G. M. 8-9/1990)
M-am gandit ca numerele pot fi de forma (n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4...(n+1)!+n care sunt numere compuse.
Daca luam cazurile n=3k, obtinem numerele M3+1, M3+2, M3 si M3+1.
Pentru n=3k+1, obtinem M3+2, M3, M3+1, M3+2.
Pentru n=3k+2, obtinem M3, M3+1, M3+2, M3.
Singurele 3 numere impare consecutive prime sunt 3, 5, 7.
Nu stiu cum trebuie abordata aceasta demonstratie. Imi puteti da o idee?
Multumesc.

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1975
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 23 Ian 2017, 11:38

Sau ne gandim la un alt numar N=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).
O alta abordare:
Sa se arata ca a| k*cmmmc(a,b)+a.

Alexxandra
utilizator
utilizator
Mesaje: 39
Membru din: 15 Feb 2016, 13:28

Mesaj de Alexxandra » 24 Ian 2017, 12:36

Cred ca nu am inteles ideea cu a si b. Puteti detalia?
M-am gandit ca as putea sa caut prin exemple numerele de o anumita forma ak+b care ideplinesc conditiile, dar cum demonstrez dupa aceea ca sunt o infinitate?

Alexxandra
utilizator
utilizator
Mesaje: 39
Membru din: 15 Feb 2016, 13:28

Mesaj de Alexxandra » 24 Ian 2017, 13:03

In sirul numerelor naturale vom avea n-1 numere naturale compuse consecutive: n!+2, n!+3...n!+n. Dar ce fac cu n+1? Daca merg totusi pe o varianta prin incercari si gasesc 4 numere compuse, consecutive, cum demonstrez dupa aceea infinitatea?

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1975
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 24 Ian 2017, 13:50

Din pacate n-am fost atent la cerinta si am raspuns la o alta problema :oops:. Imi cer scuze.
Ne folosim de ideea de a genera un gol de numere prime de lungima minima, idee deja prezenta in postul tau.
Pentru un k oarecare stim ca secventa ar trebui sa fie (k+1)!+2, ... (k+1)!+k+1.
Daca luam n+1 sa fie primul numar din sir, atunci avem n+1=(k+1)!+2, adica n=(k+1)!+1. Conditia este sa avem k>=4.

LE:
Folosind ideea de la enuntul inteles gresit de mine, putem deduce un alt set de numere:
N=k(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+n care satisfac cerinta problemei.

Alexxandra
utilizator
utilizator
Mesaje: 39
Membru din: 15 Feb 2016, 13:28

Mesaj de Alexxandra » 01 Feb 2017, 08:49

Multumesc mult. Daca totusi aceasta problema s-ar da la un concurs cum ar trebui redactata? Am inteles ideile prezentate, dar ar fi suficienta aceasta abordare pentru un punctaj maxim? Eu am ajuns la acea forma a numerelor consecutive compuse pentru ca stiam din alte probleme formula cu factorial. Imi cer scuze ca insist, dar nu am mai intalnit acest gen de problema, doar cu numere simultan prime am rezolvat pana acum.

Scrie răspuns