UTCN 849

liviu_paul98 · Mesaj de **liviu_paul98** » 18 Apr 2017, 13:21

Se considera sirul $(x_n)_{n \ge 0}, \: \: x_{n+1} = x_n + \frac{1}{a}\cdot x_n^{1-a}\: \: \: \forall n \ge 0, a\ge 1, x_0 =1$

Am aflat ca toti termenii sirului sunt pozitivi, sirul este crescator si $x_1 = \frac{1}{a} + 1$

Am de aflat $\lim _{n \to \infty} x_n$

si $\lim _{n \to \infty} \frac{x_n^a}{n}$

Am incercat sa rezolv prima limita, insa nu sunt sigur daca este corect.

Presupunand ca limita exista si este finita, si trecand la limita in relatia de recurenta obtinem
$\lim _{n \to \infty} x_n = l \Rightarrow l = l + \frac{1}{a}\cdot l^{1-a} \Rightarrow l^{1-a} = 0 \Rightarrow$ ecuatia nu are solutii, deci sirul este divergent, si tinde spre +infinit, deoarece toti termenii sunt pozitivi.

A doua limita nu stiu cum sa o abordez...

thambor · Mesaj de **thambor** » 18 Apr 2017, 14:34

Ai incercat cu cezaro stoltz?

Mesaj de **ghioknt** » 18 Apr 2017, 20:49

O mică îndreptare; nu trebuie să presupui că sirul are limită. Dacă observi, inductiv, că toti termenii sunt pozitivi, atunci si
$x_{n+1}-x_n>0$ , deci sirul este crescător. Presupui că este mărginit si obtii contradictia, deci sirul este nemărginit,
si în consecintă are limita 00. Dacă este fals că sirul e convergent, concluzia este că ori are limita infinit, ori nu are limită.
Sugestia lui thambor este foarte bună. Ai avea de aflat dacă $x_{n+1}^a-x_n^a$ are limită. As scrie asa:
$\left ( x_n+\frac{1}{a}x_n^{1-a} \right )^a-x_n^a=x_n^a\left [ \left ( 1+\frac{1}{a}x_n^{-a} \right )^a-1 \right ]=\frac{\left ( 1+\frac{1}{ax_n^a} \right )^a-1}{\frac{1}{ax_n^a}}\cdot \frac{1}{a}=...$

liviu_paul98 · Mesaj de **liviu_paul98** » 19 Apr 2017, 10:07

Multumesc !

thambor · Mesaj de **thambor** » 19 Apr 2017, 16:53

Este o formula iar limita va da a*1/a adica 1.Si eu am ajuns la forma aceea dar nu am scris x^(-a) ca 1/^a si nu m-am gandit la formula aceasta.Multumesc si eu pentru idee

Forum AniDeȘcoală.ro

UTCN 849

UTCN 849

Sir recurent