Derivata a doua

Zorum · Mesaj de **Zorum** » 13 Mai 2017, 12:58

Sa se arate ca daca f definit pe R cu valori in [0,infinit) este concava si de doua ori derivabila, atunci f este constanta.
M-am gandit la una din consecintele teoremei lui Lagrange care spune ca daca derivata functiei pe un interval este nula, atunci functia e constanta pe acel interval dar aceasta se aplica pentru derivata de ordinul intai. Daca f este concava, atunci derivata de ordinul doi este mai mica sau egala cu 0 pentru orice x din R. Luand cazul in care derivata a doua este 0, deducem ca prima derivata poate fi 0(de unde obtinem ca f este constanta) sau o constanta iar aici lucrurile se complica.

Mesaj de **gigelmarga** » 13 Mai 2017, 19:40

Dacă $f'' \le 0,$ atunci $f'$ este descrescătoare pe R. Deducem că există $l_1=\lim_{x\to -\infty} f'(x),\,\,\,\mbox{ \c{s}i } l_2=\lim_{x \to +\infty} f'(x). \,\,\,\mbox{Evident, } l_1 \ge l_2.$

Folosind l'Hospital, deducem că $\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=l_1,\,\,\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=l_2,$ dar cum f ia numai valori nenegative, rezultă că $l_1\le 0 \le l_2,$ de unde $l_1=l_2=0,$ deci $f'=0,$ adica f e constanta.