Partea intreaga din suma de radicali

[Robert0003]

Salut, stiu ca sunt postari mai vechi pe subiectul asta dar nu pot vedea pozele cu rezolvarile...
Cum se determina partea intreaga din suma a doi radicali consecutivi ?
De exemplu rad3+rad2, cum afli ca 3 e partea intreaga dintre 2 si 3 ? (Fara sa calculezi radicalii)

[Integrator]

Salut, stiu ca sunt postari mai vechi pe subiectul asta dar nu pot vedea pozele cu rezolvarile...
Cum se determina partea intreaga din suma a doi radicali consecutivi ?
De exemplu rad3+rad2, cum afli ca 3 e partea intreaga dintre 2 si 3 ? (Fara sa calculezi radicalii)

O idee:
În general putem scrie a<x^(1/2)<a+1 si b<y^(1/2)<b+1 și deci prin însumarea celor două inegalități obținem a+b<x^(1/2)y^(1/2)<a+b+2 ceea ce înseamnă că [x^(1/2)+y^(1/2)]=a+b+1 , unde a,b,x,y sunt numere naturale iar x sau y nu poate fi egal cu zero.Dacă , de exemplu x=0 , atunci rezultă că [y^(1/2)]=b
Exemple:
1) Știind că 1<3^(1/2)<2 și 1<2^(1/2)<2 , atunci prin însumarea acestor înegalități obținem 2<3^(1/2)+2^(1/2)<4 și deci rezultă că [3^(1/2)+2^(1/2)]=3.
2) Știind că 8<72^(1/2)<9 și 4<23^(1/2)<5 , atunci prin însumarea acestor înegalități obținem 12<72^(1/2)+23^(1/2)<14 și deci rezultă că [72^(1/2)+23^(1/2)]=13.
----------------------------------------
Probleme:
1) Fără a calcula radicalii ,ce valoare are [17^(1/3)+23^(1/2)]?
2) Fără a calcula radicalii ,ce valoare are [17^(1/3)+52^(1/4)+89^(1/5)]?
---------------------------------------
Cum putem generaliza problema?

[Robert0003]

Dar de exemplu rad5+rad6 daca calculam da 4,... iar daca aplicam logica asta partea intreaga da 5 ca ambii radicali sunt incadrati intre 2 si 3 deci suma lor intre 4 si 6...

[Integrator]

Dar de exemplu rad5+rad6 daca calculam da 4,... iar daca aplicam logica asta partea intreaga da 5 ca ambii radicali sunt incadrati intre 2 si 3 deci suma lor intre 4 si 6...

Aveți dreptate!Ideea mea nu este bună....
Trebuie găsită o altă cale de a rezolva problema propusă de Dvs..Am să mai cercetez această problemă interesantă.Cred că trebuie analizată problema ținând cont și de partea fracționară a radicalilor și în general de definiția părții întregi a unui număr cât și de anumite proprietăți ale părții întregi a unui număr.
Care este de fapt problema originală pe care ați vrea sa o rezolvați?

[Robert0003]

[rad3 + rad2]...asta era problema, dar banuiesc ca exista o metoda generala

[DD]

Eu asi face asa.Asi ridica la patrat deci;(√2+√3)^2=5+2√6≅9,8≅3.1^2deci
[;(√2+√3)]=[3.1]=3 Prin ridicar la patrat apreciez un singur radical.
Alt ex;E= [√10+√17]. Ridicat la patratE^2=[27+2√170]=27+26=53 de unde
E=[√53]=7
Alt ex.E=[∛7+∛13]ridicat la cub E^3=[20+3.∛91(∛7+∛13)]=20+13,2.E=E^3si rezolvam
Prin incercari
Fie E=3->20+13,2*3=59,6≈>27
E=4>>20+13,2*4=72,8≈>64
E=5->20+13,2*5=86≈<125 Rezulta E=4

[Integrator]

Salut, stiu ca sunt postari mai vechi pe subiectul asta dar nu pot vedea pozele cu rezolvarile...
Cum se determina partea intreaga din suma a doi radicali consecutivi ?
De exemplu rad3+rad2, cum afli ca 3 e partea intreaga dintre 2 si 3 ? (Fara sa calculezi radicalii)

O idee bazată pe exemple:
[rad(5)+rad(6)]=?
rad(5)=(rad(500))/10 și rad(6)=(rad(600))/10
22<rad(500)<23 și deci 2,2<rad(5)<2,3
24<rad(600)<25 și deci 2,4<rad(6)<2,4
Adunând inegalitățile 2,2<rad(5)<2,3 și 2,4<rad(6)<2,4 obținem 4,5<rad(5)+rad(6)<4,7 ceea ce înseamnă că [rad(5)+rad(6)]=4
------------------------
[rad(33)+rad(34)]=?
rad(33)=(rad(3300))/10 și rad(34)=(rad(3400))/10
57<rad(3300)<58 și deci 5,7<rad(33)<5,8
58<rad(3400)<59 și deci 5,8<rad(34)<5,9
Adunând inegalitățile 5,7<rad(33)<5,8 și 5,8<rad(34)<5,9 obținem 11,5<rad(33)+rad(34)<11,7 ceea ce înseamnă că [rad(33)+rad(34)]=11
------------------------
În general putem scie că rad(x)=y+u unde y este un număr natural și 0<=u<1 , iar rad(x+1)=y+v unde 0<v<2 și deci rad(x)+rad(x+1)=2y+u+v ceea ce înseamnă că [rad(x)+rad(x+1)]=[2y+u+v] de unde în funcție de valoarea lui u+v deducem valorea lui [rad(x)+rad(x+1)].