Problema cu arii
-
flavia_lautaru
- utilizator
- Mesaje: 54
- Membru din: 12 Sep 2007, 13:17
Problema cu arii
In trapezul ABCD cu AB paralela cu CD, AB>CD, fie P apartine [CD], M apartine [AP] si N apartine [BP] astfel incat [DP]=[CP], [AM]=[PM] si [BN]=[PN]. Demonstrati ca aria tringhiullui MDP= aria triunghiului BNC.
Rezolvarea problemei
Mai intai sa observam ca enuntul ne spune ca:
- P este mijlocul segmentului [DC]
- M si N sunt mijloacele segmentelor [AP], respectiv [BP]
Pentru a demonstra cerinta problemei, vom tine cont ca:
1) Aria triunghiului ADP este egala cu aria triunghiului BCP deoarece DP=PC iar inaltimile corespunzatoare acestor laturi (adica distantele de la A si B la DC) sunt egale, fiind egale cu distanta dintre bazele (paralele) ale trapezului.
2) Folosim o propozitie pe care este bine sa o retineti: "In orice triunghi, mediana unei laturi imparte triunghiul in doua triunghiuri de arii egale."
(Incercati sa demonstrati aceasta propozitie, nu este greu deloc!)
Obtinem ca triunghiurile MDP si BNC au ariile egale cu jumatate din ariile triunghiurilor ADP respectiv BCP. Aceste erii find egale (asa cum am aratat mai sus), rezulta ca si jumatatile lor vor fi egale. Astfel, demonstratia este incheiata.
- P este mijlocul segmentului [DC]
- M si N sunt mijloacele segmentelor [AP], respectiv [BP]
Pentru a demonstra cerinta problemei, vom tine cont ca:
1) Aria triunghiului ADP este egala cu aria triunghiului BCP deoarece DP=PC iar inaltimile corespunzatoare acestor laturi (adica distantele de la A si B la DC) sunt egale, fiind egale cu distanta dintre bazele (paralele) ale trapezului.
2) Folosim o propozitie pe care este bine sa o retineti: "In orice triunghi, mediana unei laturi imparte triunghiul in doua triunghiuri de arii egale."
(Incercati sa demonstrati aceasta propozitie, nu este greu deloc!)
Obtinem ca triunghiurile MDP si BNC au ariile egale cu jumatate din ariile triunghiurilor ADP respectiv BCP. Aceste erii find egale (asa cum am aratat mai sus), rezulta ca si jumatatile lor vor fi egale. Astfel, demonstratia este incheiata.