4.a)Sa se arate ca nu exista x si y astfel incat x^2+y^2=2010
b)Sa se calculeze restul impartirii lui 8^2010 la 13.
c)Sa se calculeze restul impartirii lui 8^2010 la 143.
Arhimede
Re: Arhimede
Daca x ar fi numar par atunci y ar trebui sa fie de asemena numar par (se deduce cu usurinta).petreandrei scrie:4.a)Sa se arate ca nu exista x si y astfel incat x^2+y^2=2010.
Dar, daca x si y sunt numere pare atunci patratele lor se divid cu 4 astfel ca si suma patratelor trebuie sa se divida cu 4. Cum insa 2010 nu este divizibil cu 4, inseamna ca numerele x si y nu pot fi pare.
Acum, sa presupunem ca x si y sunt numere impare
Patratele impare au ultima cifra 1, 9 sau 5. Printr-un rationament asemanator celui de mai sus se poate dovedi ca cele doua patrate nu pot fi divizibile cu 5.
A ramas astfel doar posibilitatea ca unul dintre patrate sa aiba ultima cifra 1 iar celalalt sa aiba ultima cifra 9.
Acum, putem testa toate patratele care se termina in cifra 1 si sunt mai mici decat 2010 (nu sunt foarte multe):
Nu ramane decat sa le scadem din 2010 si sa constatam ca diferenta nu este patrat perfect.
Este posibil sa existe si o rezolvare mai ingenioasa, dar nici aceasta nu este foarte durativa!