numere pare si numere impare

[fluture_w]

1.Daca a si b sunt doua nr.naturale,x=2a+6b si y=4a+10b+17,aflari ce paritate au urmtoarele nr.

a)x; c)x+y; e)7x;

b)7x; d)x-y; f)6y; g)3x+y+7;

2.Suma 10 numere naturale nenule pare distincte este 110.Aflati numerele.

3.Suma a 10 numere naturale nenule pare este 108.Aratati ca doua dintre numere sunt egale.

4.Suma a 1o numere naturale nenule pare distincteeste 112.Aratati ca cel mai mare dintre ele ete un nr. mai mare decat 20.

5.Suma a 10 numere naturale nenule impare distincte ste 100.Aflatinumerele.

6.Suma a 10 numere naturale inpare este 96.Aratati ca doua din ele sunt egale.

7.Suma a 10 numere naturale impare distincte este 102.Aratati ca cel mai mare dintre ele este un numar mai mare decat 20.

8.Stabiliti daca exista 15 numere naturale pare care,adunate,sa aiba suma 1999.

[Bogdan Stanoiu]

1.Daca a si b sunt doua nr.naturale,x=2a+6b si y=4a+10b+17,aflari ce paritate au urmtoarele nr.

a)x; c)x+y; e)7x;

b)7x; d)x-y; f)6y; g)3x+y+7;

2.Suma 10 numere naturale nenule pare distincte este 110.Aflati numerele.

3.Suma a 10 numere naturale nenule pare este 108.Aratati ca doua dintre numere sunt egale.

4.Suma a 1o numere naturale nenule pare distincteeste 112.Aratati ca cel mai mare dintre ele ete un nr. mai mare decat 20.

5.Suma a 10 numere naturale nenule impare distincte ste 100.Aflatinumerele.

6.Suma a 10 numere naturale inpare este 96.Aratati ca doua din ele sunt egale.

7.Suma a 10 numere naturale impare distincte este 102.Aratati ca cel mai mare dintre ele este un numar mai mare decat 20.

8.Stabiliti daca exista 15 numere naturale pare care,adunate,sa aiba suma 1999.

1)x=2a+6b=2(a+3b) este numar par
x+y=6a+16b+17=2(3a+8b+8)+1 este numar impar
x este par de unde rezulta ca 7x este par
x par y impar de unde rezulta x-y impar
6 numar par de unde rezulta 6y par
x par de unde rezulta 3x par si cum y este impar rezulta 3x+y impar de unde rezulta 3x+y+7 par
2) Fie cele zece numere 2*k(1); 2*k(2);...;2*k(10) rezulta ca
2*(k(1)+k(2)+...+k(10))=110 de unde rezulta
k(1)+k(2)+...+k(10)=55 si cum k(1);k(2),...,k(10) sunt distincte doua cate doua rezulta ca suma
k(1)+k(1)+...+k(10)>=1+2+...+10=55 egalitatea avand loc pentru k(i)=i pentru orice i de la 1 la 10 si deci numerele sunt 2*1;2*2;..;2*10
3) vezi problema precedenta. Daca numerele pare ar fi distincte doua cate doua suma lor ar fi cel putin 110
4) Daca cel mai mare numar ar fi 20 suma numerelor ar fi in mod obligatoriu 110
5) Avem ca (2*1-1)+(2*2-1)+...+(2*n-1)=n^2 pentru orice n>0 natural
Cea mai mica valoare pe care o poate lua suma a zecenumere naturale impare distincte doua cate doua este deci 10^2=100 si seobtine daca si numai daca numerele care intra in componenta sumei sunt
1;3;5;...;19
6) vezi problema precedenta
7) Daca cel mai mare ar fi 19 ar rezulta ca suma este 100
8) o suma de numere pare da tot un numar par. Deci raspunsul este negativ

[Bogdan Stanoiu]

Pentru a jongla cu numere pare si numere impare retine urmatoarele doua leme:

Lema 1:
a)Suma a doua numere pare este un numar par
b) Suma a doua numere impare este un numar par
c) Suma dintre un numar par si un numar impar este un numar impar

Demonstratie
a) Un numar natural par se scrie sub forma 2*k cu k natural (2 inmultit cu ceva natural)
Daca a;b sunt pare rezulta ca exista k;t naturale astfel incat
a=2*k si b=2*t
Rezulta a+b=2*k+2*t=2*(k+t) si deoarece suma a doua numere naturale este tot un numar natural rezulta ca x+y se scrie ca 2 inmultit cu ceva natural decfi este par
b) Un numar natural impar se scrie sub forma 2*k+1 cu k natural (2 inmultit cu ceva natural si inca o unitate in plus)
Daca x;y sunt impare rezulta ca exista k;t naturale asyfel incat
x=2*k+1 si y=2*t+1
rezulta ca x+y=2*k+1+2*t+1=2*k+2*t+2=2*(k+t+1) si deci x+y se scrie sub forma 2 inmultit cu ceva natural deci este par
c)Daca x este par si y este impar rezulta ca exista k;t naturale astfel incat x=2*k si y=2*t+1
Rezulta ca x+y=2*k+2*t+1=2*(k+t)+1 deci x+y se scrie ca 2 inmultit cu ceva natural plus o unitate deci este impar

Lema 2

a)Produsul dintre un numar par si orice alt numar natural este un numar par
b) produsul a doua numere impare este un numar impar

Ia incearca tu sa demonstrezi lema 2

Oricum, daca stii enunturile la cele doua leme , n-ai treaba cu problema par versus impar