Probleme din clasa aIXa, ecuatii,parte intreaga si puteri
Probleme din clasa aIXa, ecuatii,parte intreaga si puteri
1) p ia valori (0, +infinit), sa se arate ca numerele reale x,y verifica relatia:
(x+ "RADICAL din Xpatrat +1")(Y+"radical din Y patrat +1')=p
sa se arate ca numerele reale x,y verifica relatia:
x+y>= p-1/ "radical din p"
2) sa se afle solutiile ecuatiei :
[radical din "3Xpatrat-18X+52"]+ [radical din "2Xpatrat - 12X+162"] este egal cu
[radical din "-Xpatrat +6X+280"]
3)rezolvati ecutia:
(Xpatrat-3X+1)totul la patrat' - 3(Xpatrat-3X+1)+1=x
4)Rezolvati ecuatia:
Xla puterea 2011 - 2*[radical din x]totul la pouterea 2011 +1=0
5)a,b,c iau valori [0,1], atunci :
[a/(1+bc)]+[b/(1+ac)]+[c/(1+ab)]- [1/(1+abc)] este mai mic sau egal( =<) cu 1
6) sa se gaseasca numarul solutiilor intregi si pozitivle ale ecuatilei :
[x/2011] = [x/2010] "aici , si doar aici parantezele au rol de parte intreaga"
Sper sa puteti sa ma ajutati , am nevoie de ele pentru marirea medie si profesoara a zis ca daca nu le fac nici macar nu ma scoate la tabla, am nevoie de ele , neaparat pana maine seara, adica joi seara, 2 iunie 2011!!!!!!
(x+ "RADICAL din Xpatrat +1")(Y+"radical din Y patrat +1')=p
sa se arate ca numerele reale x,y verifica relatia:
x+y>= p-1/ "radical din p"
2) sa se afle solutiile ecuatiei :
[radical din "3Xpatrat-18X+52"]+ [radical din "2Xpatrat - 12X+162"] este egal cu
[radical din "-Xpatrat +6X+280"]
3)rezolvati ecutia:
(Xpatrat-3X+1)totul la patrat' - 3(Xpatrat-3X+1)+1=x
4)Rezolvati ecuatia:
Xla puterea 2011 - 2*[radical din x]totul la pouterea 2011 +1=0
5)a,b,c iau valori [0,1], atunci :
[a/(1+bc)]+[b/(1+ac)]+[c/(1+ab)]- [1/(1+abc)] este mai mic sau egal( =<) cu 1
6) sa se gaseasca numarul solutiilor intregi si pozitivle ale ecuatilei :
[x/2011] = [x/2010] "aici , si doar aici parantezele au rol de parte intreaga"
Sper sa puteti sa ma ajutati , am nevoie de ele pentru marirea medie si profesoara a zis ca daca nu le fac nici macar nu ma scoate la tabla, am nevoie de ele , neaparat pana maine seara, adica joi seara, 2 iunie 2011!!!!!!
3) y=x^2-3*x+1 (1)
(x^2-3*x+1)^2-3*(x^2-3*x+1)+1=x
y^2-3*y+1=x (2)
Dupa ce desfacem parantezele...dupa calcule ajungem la forma
x^4-6*x^3+8*x^2+2*x-1=0
Scadem (1) din (2) =>x-y=(y^2-x^2)-3*y+3*x+1-1 =>x-y=(y-x)(y+x)+3*(x-y) =>(x-y)*(1+x+y-3)=0 =>x=y sau x+y=2
caz 2 x+y=2 =>y=2-x =>x^2-3*x+1=2-x =>x^2-2*x-1=0
caz 1 x=y => x^2-3*x+1=x =>x^2-4*x+1=0
Se observa ca (x^2-4*x+1)*(x^2-2*x-1)=x^4-6*x^3+8*x^2+2*x-1=0
=>x^2-2*x-1=0 =>x1=1+rad(2) x2=1-rad(2)
x^2-4*x+1=0 => x3=2+rad(3) x4=2-rad(3)
Astea-s solutiile. (rad(x) =radical de ordin 2 din x)
(x^2-3*x+1)^2-3*(x^2-3*x+1)+1=x
y^2-3*y+1=x (2)
Dupa ce desfacem parantezele...dupa calcule ajungem la forma
x^4-6*x^3+8*x^2+2*x-1=0
Scadem (1) din (2) =>x-y=(y^2-x^2)-3*y+3*x+1-1 =>x-y=(y-x)(y+x)+3*(x-y) =>(x-y)*(1+x+y-3)=0 =>x=y sau x+y=2
caz 2 x+y=2 =>y=2-x =>x^2-3*x+1=2-x =>x^2-2*x-1=0
caz 1 x=y => x^2-3*x+1=x =>x^2-4*x+1=0
Se observa ca (x^2-4*x+1)*(x^2-2*x-1)=x^4-6*x^3+8*x^2+2*x-1=0
=>x^2-2*x-1=0 =>x1=1+rad(2) x2=1-rad(2)
x^2-4*x+1=0 => x3=2+rad(3) x4=2-rad(3)
Astea-s solutiile. (rad(x) =radical de ordin 2 din x)
1/(1+b*c)<=rad(b*c)/2
=>a*rad(b*c)+b*rad(a*c)+c*rad(a*b)<=2+2/(1+abc)
=>rad(a*b*c)*(rad(a)+rad(b)+rad(c))<=2+2/(1+abc) Ridicam la patrat!
abc*(a+b+c+2*rad(bc)+2*rad(ac)+2*rad(ab))<=(2+2/(1+abc))^2
rad(ab)<=(a+b)/2
=>abc*(a+b+c+a+b+b+c+c+a)<=(2+2/(1+abc))^2
=>3abc*(a+b+c)<=(2+2/(1+abc))^2
abc<=(a+b+c)^3/27 =>(a+b+c)^4<=36*(1+1/(1+abc))^2 Extragem radical
=>(a+b+c)^2<=6*(1+1/(1+abc))=>(a+b+c)^2 *(1+abc)<=6(2+abc)
=>(1+abc)*[(a+b+c)^2-6]<=6
Ptr a,b,c apartin lui [0,1] =>abc<=1 si a+b+c<=3
abc<=1 / +1=>1+abc<=2
a+b+c<=3 =>(a+b+c)^2-6<=3
=>(1+abc)*[(a+b+c)^2-6]<=2*3=6.
Fara trucuri la prb 3...e si parerea mea.
=>a*rad(b*c)+b*rad(a*c)+c*rad(a*b)<=2+2/(1+abc)
=>rad(a*b*c)*(rad(a)+rad(b)+rad(c))<=2+2/(1+abc) Ridicam la patrat!
abc*(a+b+c+2*rad(bc)+2*rad(ac)+2*rad(ab))<=(2+2/(1+abc))^2
rad(ab)<=(a+b)/2
=>abc*(a+b+c+a+b+b+c+c+a)<=(2+2/(1+abc))^2
=>3abc*(a+b+c)<=(2+2/(1+abc))^2
abc<=(a+b+c)^3/27 =>(a+b+c)^4<=36*(1+1/(1+abc))^2 Extragem radical
=>(a+b+c)^2<=6*(1+1/(1+abc))=>(a+b+c)^2 *(1+abc)<=6(2+abc)
=>(1+abc)*[(a+b+c)^2-6]<=6
Ptr a,b,c apartin lui [0,1] =>abc<=1 si a+b+c<=3
abc<=1 / +1=>1+abc<=2
a+b+c<=3 =>(a+b+c)^2-6<=3
=>(1+abc)*[(a+b+c)^2-6]<=2*3=6.
Fara trucuri la prb 3...e si parerea mea.
Exercitiu 3
Notam f(x)=x^2-3x+1
Se obsrva ca f*f=membrul stang al ecuatiei (*=c0mpus)
Va trebui deci sa rezolvam ecuatia f(x)=x adca sa aflam punctul fix
al functiei f
x^2-3x+1=x
x^2-4x+1=0
x1=2+rad3 si x2=2-rad3
Acestea sun solutiile reale a ecuatiei
Se obsrva ca f*f=membrul stang al ecuatiei (*=c0mpus)
Va trebui deci sa rezolvam ecuatia f(x)=x adca sa aflam punctul fix
al functiei f
x^2-3x+1=x
x^2-4x+1=0
x1=2+rad3 si x2=2-rad3
Acestea sun solutiile reale a ecuatiei
f(f(x))=x...Asta nu inseamna ca f(x)=x e singura solutie. f(x)=a*x+b =>f(ax+b)=x =>a^2*x+ab+b=x =>
caz 1 a=1 => b=0 f(x)=x
caz 2 a=-1 =>f(x)=b-x solutie!!!
Solutiile pot fi mult mai multe! Eu am luat o functie la intamplare cea de grad 1. Ai grija pierzi solutii! Asha ca nu mai fi u gigi contra...cu trucuri din astea ca nu merge!
In cazu` problemei noastre ai o functie de grad 2 ...tb facute inlocuirile ca sa vezi solutiile.
caz 1 a=1 => b=0 f(x)=x
caz 2 a=-1 =>f(x)=b-x solutie!!!
Solutiile pot fi mult mai multe! Eu am luat o functie la intamplare cea de grad 1. Ai grija pierzi solutii! Asha ca nu mai fi u gigi contra...cu trucuri din astea ca nu merge!
In cazu` problemei noastre ai o functie de grad 2 ...tb facute inlocuirile ca sa vezi solutiile.
Laborioasa cum e...si lipsita de eleganta ...eu zic ca e mult mai completa ca a ta. Fii corect, admite ca ai pierdut solutii!
Acuma e si a ta corecta dar dupa ce te-am atentionat eu...Nu-mi plac indivizii ca tine...se cred mari matematicieni desi nu sunt. + ce rost are sa faci acelasi exercitiu...sunt mari sanse sa-l fi copiat de la mine...si sa fi gasit o bresa in ea care sa te duca mai rpd la solutie. N-avea nici un rost sa demonstrezi prb asta, eu stiu totusi dc ai demonstrat-o...daca erai asha bun cum te umfli in pene si zici ca esti treceai peste problema asta si rezolvai alta.
Acuma e si a ta corecta dar dupa ce te-am atentionat eu...Nu-mi plac indivizii ca tine...se cred mari matematicieni desi nu sunt. + ce rost are sa faci acelasi exercitiu...sunt mari sanse sa-l fi copiat de la mine...si sa fi gasit o bresa in ea care sa te duca mai rpd la solutie. N-avea nici un rost sa demonstrezi prb asta, eu stiu totusi dc ai demonstrat-o...daca erai asha bun cum te umfli in pene si zici ca esti treceai peste problema asta si rezolvai alta.
Solutiile tale sunt or gresite ori incomplete...nu am apucat sa-ti verific rezolvarea fiindcă nu am stare sa bîjbîi prin cuvinte în loc sa vad clar simboluri matematice (este atît de simpla scrierea matematica pe forum dar aproape nimeni nu o baga în seama )-nu o considera ofensa-sandy_sc scrie:............
In primul moment cînd am văzut problema am rulat-o pe un program de calcul, surpriza a fost ca ecuatia admite solutii întregi (curios)..am încercat sa determin solutia respectiva prin trucuri dar nu a mers asa ca am renuntat...
Tu rezolvi problemele cu calculatorul?Atunci schimba-ti username-ul dinGreatMath scrie:In primul moment cînd am văzut problema am rulat-o pe un program de calcul, surpriza a fost ca ecuatia admite solutii întregi (curios)..am încercat sa determin solutia respectiva prin trucuri dar nu a mers asa ca am renuntat...sandy_sc scrie:............
GreathMath in GreathInformatician.
edy8 acum ca s-a ajuns si la a 3-a rezolvare cred ca e ok. Inseamna ca omu` e mai mult decat multumit...dar poate dorea rezolvari ptr exercitiile ramase...ce sa-i faci e mai usor sa rezolvi ceva demonstrat de altii inainte. (asha ca sa fii tu mare matematician). Nu inteleg de ce e la moda sa faci ceva ce a fost demonstrat inainte...e o insulta in primu` rand adusa celui care a rezolvat-o primu`...sau se face dinadins? Daca se face dinadins cred ca ma apuc si eu sa rezolv exercitiile care le-a rezolvat edy8 ...asha de distractie!
(am facut deja exces de icon-uri)GreatMath scrie:Am impresie ca porcăria asta de problema nu se rezolva cu nici un truc ci pur si simplu standard pana când iti sar ochii din cap.3)rezolvati ecutia:
(Xpatrat-3X+1)totul la patrat' - 3(Xpatrat-3X+1)+1=x .....
Ma refeream la problema 2 cu radicali, cand ziceam ca nu se rezolva cu trucuri (JENANT este faptul ca abia acum imi dau seama ce problema tintam)....este de altfel prima problema care mi-a sarit in ochi find celelalte mi s-au parut destul de usoare........voi veni cu o rezolvare complicata cat de curand posibil-numai sa termin de examene- .....
Sunt unele probleme in matematica atunci cand le vezi prima oare este bine sa incerci sa le rezolvi cu calculatorul altfel risti sa muncesti ore intregi fara rezultat (eu nu am atata timp la dispozitie)...sandy_sc
Ultima oară modificat 02 Iul 2011, 09:22 de către GreatMath, modificat 1 dată în total.