vreau sa calculez A la n
A=(-1 1 1)
(1 -1 1)
(1 1 -1)
matricea A la puterea n (cu binomul lui newton)
-
- guru
- Mesaje: 1537
- Membru din: 17 Oct 2010, 21:24
- Localitate: Bucuresti
Re: matricea A la puterea n (cu binomul lui newton)
Se arata mai intai ca produsul a doua matrice pentru care toate elementele de pe diagonala principala sunt egale intre ele si toate elementele care nu se gasesc pe diagonala principala sunt de asemenea egale intre ele este tot o matrice de aceeasi formatovy scrie:vreau sa calculez A la n
A=(-1 1 1)
(1 -1 1)
(1 1 -1)
Deci A^n va fi o matrice de forma : x(n) pe diagonala principala si y(n) in rest.
Din relatia A^(n+1)=A*A^n se obtin relatiile de recurenta
x(n+1)=-x(n)+2y(n) si y(n+1)=x(n). De aici rezulta ca
x(n+1)=-x(n)+2x(n-1) de unde rezulta ca
x(n+1)+x(n)-2=0 sir pentru care formula termenului general se determina cu ajutorul ecuatiei caracteristice.
Analog se determina y(n)
Sa scriem matrice data sub forma ;
................(1 1 1)
A=(-2).I3+(1 1 1)=-2.I+B
................(1 1 1) Se vede ca ; B^2=3.B=3^2.(B/3) , B^3=3^3.(B/3)..
..B^n=3^n.(B/3) . Deci ; A^n=(B-2.I)^n=C(de n luate cate 0) din [3^n.(B/3)]+C(de n luate cate 1) din [3^(n-1).(-2).(B/3)]+...+C(de n luate cate k)din [3^(n-k).(-2)^k.(B/3)]+..+C(de n luate cate (n-1)) din [3.(-2)^(n-1).
(B/3)]+C(de n luate cate n) din [(-2)^n.I]=(B/3).{C(de n luate cate 0) din [3^n]+C(de n luate cate 1) din [3^(n-1).(-2)]+....+C(de n luate cate k) din [3^(n-k).(-2)^k]+...+C(de n luate cate (n-1)) din [3.(-2)^(n-1)]+C(de n luate cate n) din [(-2)^n]-C(de n luate cate n) din [(-2)^n]}+C(de n luate cate n) din [(-2)^n.I]=(B/3).{(3-2)^n-(-2)^n}+(-2)^n.I=
(1-(-2)^n).(B/3)+(-2)^n.I=(B/3)+(-2)^n.(I-B/3). Sper ca nu am gresit . Totusi, ideea este importanta . Notatia "C(de n luate cate k)=combinari de n luate cate k". Te rog sa ai rabdare.Intrebari?
................(1 1 1)
A=(-2).I3+(1 1 1)=-2.I+B
................(1 1 1) Se vede ca ; B^2=3.B=3^2.(B/3) , B^3=3^3.(B/3)..
..B^n=3^n.(B/3) . Deci ; A^n=(B-2.I)^n=C(de n luate cate 0) din [3^n.(B/3)]+C(de n luate cate 1) din [3^(n-1).(-2).(B/3)]+...+C(de n luate cate k)din [3^(n-k).(-2)^k.(B/3)]+..+C(de n luate cate (n-1)) din [3.(-2)^(n-1).
(B/3)]+C(de n luate cate n) din [(-2)^n.I]=(B/3).{C(de n luate cate 0) din [3^n]+C(de n luate cate 1) din [3^(n-1).(-2)]+....+C(de n luate cate k) din [3^(n-k).(-2)^k]+...+C(de n luate cate (n-1)) din [3.(-2)^(n-1)]+C(de n luate cate n) din [(-2)^n]-C(de n luate cate n) din [(-2)^n]}+C(de n luate cate n) din [(-2)^n.I]=(B/3).{(3-2)^n-(-2)^n}+(-2)^n.I=
(1-(-2)^n).(B/3)+(-2)^n.I=(B/3)+(-2)^n.(I-B/3). Sper ca nu am gresit . Totusi, ideea este importanta . Notatia "C(de n luate cate k)=combinari de n luate cate k". Te rog sa ai rabdare.Intrebari?