Exercitii

[Beatrice113]

Sa se arate ca:

1) x+y/2 mai mare sau egal cu radical din xy
2) x=y+z+t /4 mai mare sau egal cu radical de ordinul 4 din xyzt
3) x+y+z/3 mai mare sau egal cu radical de ordinul 3 din xyz

oricare ar fi x,y,z,t mai mari ca 0.


Ideea mea era sa pornesc de la inegalitatea mediilor, dar cum as putea scrie?

[Pollux]

Toate cele 3 subpuncte pe care le-ai enuntat sunt,de fapt,echivalente exact cu inegalitatea mediilor.

Se stie ca ,egalitate atingandu-se in cazul in care toate numerele luate in consideratie sunt egale.

Media aritmetica a n numere se calculeaza dupa formula:



Media geometrica a n numere se calculeaza dupa formua:



Pentru primul:calculam media artimetica a numerelor x si y:



Calculam media lor geometrica:

.Stim ca ,deci in cazul nostru,

ceea ce este echivalent cu ceea ce trebuia demonstrat.

La fel se face si pentru celelalte 2 subpuncte

[mihai2000]

Daca vrei sa demonstrezi inegalitatea mediilor poti, de exemplu, la 1) sa ridici la patrat inegalitatea (x,y pozitive), si prin gruparea termenilor obtii ceva de genul ceea ce e adevarat pentru orice a si b reale. Se observa ca egalitatea se obtíne pentru a = b ...
Daca vrei sa te folosesti de inegalitatea mediilor (inegalitatea cunoscuta) nu mai trebuie sa demonstrezi nimic (decit sa scrii inegalitatea, )

[Beatrice113]

Am înteles, multumesc mult de tot!