Inegalitati succesive

andu_flavius95 · Mesaj de **andu_flavius95** » 29 Iul 2013, 17:01

Dacă ${a_k},\;{p_k} \in \left( {0,\infty } \right)$ ,cu $\sum\limits_{k = 1}^n {{p_k} = 1}$ si $\sigma \in {S_n}$ ( $\sigma$ este o permutare a multimii $\left\{ {1,2,3,...,n} \right\}$ ) , să se demonstreze că :
$\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \ge \frac{1}{{n!}} \cdot \sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}^{{p_{\sigma \left( k \right)}}}} \ge \sqrt[n]{{\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}} }} \ge \frac{{n!}}{{\sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {\frac{1}{{\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}^{{p_{\sigma \left( k \right)}}}} }}} }}} \ge \frac{n}{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{a_k}}}} }}\;\;.$

Se primesc solutii la această problema până la data de 3 august 2013 (ora 12:00 - 12:30) ,după care se va posta si rezolvarea concretă .
Succes !

andu_flavius95 · Mesaj de **andu_flavius95** » 03 Aug 2013, 07:10

Din moment ce n-am primit nici o solutie ,voi posta rezolvarea putin mai devreme:

Pornim de la bine cunoscuta inegalitate : $\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}^{{p_k}} \le \sum\limits_{k = 1}^n {{p_k} \cdot {a_k}} }$ . Insumăm după $\sigma$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}^{{p_{\sigma (k)}}} \le \sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {\sum\limits_{k = 1}^n {{p_{{\sigma _k} \cdot {a_k}}} \le \sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {{p_{\sigma (k) \cdot {a_k}}}} = \left( {{p_{\sigma (1)}} + {p_{\sigma (2)}} + ... + {p_{\sigma (n)}}} \right) \cdot {a_1} \cdot \left( {n - 1} \right)! + ... + } } } } } \left( {{p_{\sigma (1)}} + {p_{\sigma (2)}} + ... + {p_{\sigma (n)}}} \right) \cdot {a_n} \cdot \left( {n - 1} \right)! = \\ = \left( {n - 1} \right)! \cdot \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right). \end{array}$
Aici am folosit faptul ca oentru un $a_k$ fixat ,celelalte numere se pot alege in (n-1)! moduri . Prin impărtire cu n! se obtine prima inegalitate din enunt. Utilizând inegalitatea MG-MA pentru n! numere se obtine:
$\sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}^{{p_{\sigma (k)}}} \ge n! \cdot \sqrt[{n!}]{{\prod\limits_{\sigma \in {S_n}} {\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}^{{p_{\sigma (k)}}}} } }} = n! \cdot \sqrt[{n!}]{{{a_1}^{\left( {n - 1} \right)!} \cdot a_2^{(n - 1)!} \cdot ... \cdot a_n^{(n - 1)!}}}} } = n!\sqrt[{n!}]{{{{\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}} } \right)}^{\left( {n - 1} \right)!}}}} = n! \cdot \sqrt[n]{{\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{a_k}} } \right)}}$ ,adica inegalitatea a doua din enunt.
Ultimele două inegalitati se obtin cu schimbarea ${a_k} \to \frac{1}{{{a_k}}}$ .
q.e.d

wehrmacht · Mesaj de **wehrmacht** » 27 Ian 2014, 02:00

tare rau de tot problema asta , felicitari ca ai postat-o !