problema de olimpiada data ca tema

[dalina]

Fie n apartine N. Calculati S=(n+1; 2n+5)+(n+2; 2n+7)+(n+1002; 2n+2007), unde cu (a,b) am notat cmmdc al nr a si b.

Nu am nicio idee de rezolvare...

[dalina]

Ma ajuta cineva,va rog!

[gigelmarga]

Cam cat poate fi (n+1,2n+5)?

[dalina]

Cam cat poate fi (n+1,2n+5)?

3 ?!

[gigelmarga]

Exact. Daca d=(n+1,2n+5), atunci d|n+1, de unde d|2n+2, dar si d|2n+5.
Deducem ca d|2n+5-(2n+2)=3, adica d este 1 sau 3.

[gigelmarga]

Pai, sa continuam: cand d=3?

[dalina]

Exact. Daca d=(n+1,2n+5), atunci d|n+1, de unde d|2n+2, dar si d|2n+5.
Deducem ca d|2n+5-(2n+2)=3, adica d este 1 sau 3.

Multumesc! Si dupa ce le rezolv pe fiecare... rezulta ca €{1,3} Cum aflu suma?

[gigelmarga]

Puteti incepe prin a incerca sa raspundeti la intrebarea pusa mai sus.

[dalina]

Pai, sa continuam: cand d=3?

(n+1) divizibil cu 3 ?

[gigelmarga]

Exact, deci atunci cand n da restul 2 la impartirea cu 3.
Dar in celelalte 2 cazuri, cand avem egalitatea cmmdc=3?

Cat este, in final, suma?

(nu va sfiiti sa calculati suma pentru cateva valori particulare, ca n=1,2,3,4.., pentru a vedea cum merg lucrurile)

[dalina]

Exact, deci atunci cand n da restul 2 la impartirea cu 3.
Dar in celelalte 2 cazuri, cand avem egalitatea cmmdc=3?

Cat este, in final, suma?

(nu va sfiiti sa calculati suma pentru cateva valori particulare, ca n=1,2,3,4.., pentru a vedea cum merg lucrurile)

Am calculat pt aceste valori ale lui n si pt n=5 avem c.m.m.d.c=3 , dar nu inteleg cum sa continui...

[dalina]

Mai exact... ce sa fac?!

[dalina]

Adica pt n+2 si n+1002 ?

[dalina]

Daca d=(n+2, 2n+7)=>d|3
Daca d=(n+1002, 2n+2007),=>d|3

[gigelmarga]

Doamna, sau domnisoara,

aveti trei cmmdc in suma.

Dati valori lui n si calculati, pentru fiecare valoare, cei trei cmmdc.

Faceti un tabel, ceva, ca sa analizati datele.

Concluzia ar trebui sa fie vizibila.

Dupa ce o ghiciti, revedeti postarile. Demonstratia nu e grea.

Later edit: daca nu merge, rabdare. E un baiat care, dupa ce pricepe solutia, o si posteaza. Ati inteles?

[dalina]

Doamna, sau domnisoara,

aveti trei cmmdc in suma.

Dati valori lui n si calculati, pentru fiecare valoare, cei trei cmmdc.

Faceti un tabel, ceva, ca sa analizati datele.

Concluzia ar trebui sa fie vizibila.

Dupa ce o ghiciti, revedeti postarile. Demonstratia nu e grea.

Later edit: daca nu merge, rabdare. E un baiat care, dupa ce pricepe solutia, o si posteaza. Ati inteles?

Multumesc frumos!

[ghioknt]

Eu cred ca problema este scrisa gresit. Ar deveni mai usoara, daca intre al doilea si al trelea cmmdc s-ar scrie puncte, puncte.
Atunci suma ar avea 1002 termeni si, indiferent de valoarea lui n, o treime dintre termeni ar avea valoarea 3, iar restul, valoarea 1.

[gigelmarga]

Eu cred ca problema este scrisa gresit. Ar deveni mai usoara, daca intre al doilea si al trelea cmmdc s-ar scrie puncte, puncte.
Atunci suma ar avea 1002 termeni si, indiferent de valoarea lui n, o treime dintre termeni ar avea valoarea 3, iar restul, valoarea 1.

Problema e OK.
Indiferent de valoarea lui n, doi dintre termeni sunt egali cu 1 si unul cu 3, deci suma e 5.


Ar fi fost, poate, de preferat sa incercati sa vedeti daca ideea pe care am propus-o (analizarea mai multor cazuri particulare) nu e cumva buna, inainte de a va da cu parerea despre cat de gresita e problema.