Se considera numarul N=abcdef(nr. natural). Sa se demonstreze ca numarul N este divizibil cu 7 daca si numai daca ef+2cd+4ab este divizibil cu 7(ef, cd, ab cu bara deasupra, deci tot nr. naturale). folosind eventual acest rezultat sa se arate ca numarul 1...12...2...9...9 este divizibil cu 7 stiind ca fiecare cifra de la 1 la 9 apare de 12 ori.
e pt. fiul meu din a cincea - pregatire pt. olimpiada. nu mai retin cum se fac acest tip de exercitii. divizibilitatea cu 7 nu prea are criterii - nu e legata de suma cifrelor numarului si nici de ultima cifra.
divizibilitate
Divizibilitate
Un elev care se pregăteşte pentru olimpiadă trebuie ajutat şi să descopere matematică, nu doar să înveţe matematică.
Iată câteva achiziţii utile, în materie de divizibilitate.
Două numere naturale (mai târziu - întregi) dau acelaşi rest la împărţirea cu numărul natural n dacă şi numai dacă diferenţa
lor este divizibilă cu n.
Dacă 2 numere naturale dau la împărţirea cu n resturile r şi r', atunci produsul (suma) lor dă la împărţirea cu n acelaşi
rest cu produsul r*r' (suma r+r').
Astfel dacă aflăm că 100 dă restul 2 la împărţirea cu 7, atunci, fără a face împărţirea, putem fi siguri că 10000=100*100
dă la împărţirea cu 7 acelaşi rest cu 2*2=4, adică 4. Altfel scris: 100=7*x+2 şi 10000=7*y+4 (câturile nu au importanţă).
Dacă 2 sau mai multe numere naturale sunt divizibile cu n, atunci numărul obţinuc prin alipirea acelor numere, într-o
ordine oarecare, este şi el divizibil cu n. Exemplu: 84 şi 259 sunt divizibile cu 7; atunci 84259 sau 25984 sunt divizibile cu 7.
'abcdef'='ab'*10000+'cd'*100+'ef'='ab'(7*y+4)+'cd'(7*x+2)+'ef'=7*'ab'*y+4*'ab'+7*'cd'*x+2*'cd'+'ef' =>
'abcdef'-(4*'ab'+2*'cd'+'ef')=7('ab'*y+'cd'*x). Vedem o diferenţă divizibilă cu 7. Deducem că ele dau acelaşi rest la
împărţirea cu 7. In particular, dacă unul dintre ele dă restul 0, atunci şi celălalt dă restul 0.
Conform acestui criteriu numărul 'cccccc' este divizibil cu 7: 4*'cc+2*'cc'+'cc'=7*'cc'. La fel 'cdcdcd' este divizibil cu 7.
Cu aceste cunoştinţe rezolvarea ultimului punct este doar o problemă de compunere.
Am scris 'ab' în loc de ab barat.
Iată câteva achiziţii utile, în materie de divizibilitate.
Două numere naturale (mai târziu - întregi) dau acelaşi rest la împărţirea cu numărul natural n dacă şi numai dacă diferenţa
lor este divizibilă cu n.
Dacă 2 numere naturale dau la împărţirea cu n resturile r şi r', atunci produsul (suma) lor dă la împărţirea cu n acelaşi
rest cu produsul r*r' (suma r+r').
Astfel dacă aflăm că 100 dă restul 2 la împărţirea cu 7, atunci, fără a face împărţirea, putem fi siguri că 10000=100*100
dă la împărţirea cu 7 acelaşi rest cu 2*2=4, adică 4. Altfel scris: 100=7*x+2 şi 10000=7*y+4 (câturile nu au importanţă).
Dacă 2 sau mai multe numere naturale sunt divizibile cu n, atunci numărul obţinuc prin alipirea acelor numere, într-o
ordine oarecare, este şi el divizibil cu n. Exemplu: 84 şi 259 sunt divizibile cu 7; atunci 84259 sau 25984 sunt divizibile cu 7.
'abcdef'='ab'*10000+'cd'*100+'ef'='ab'(7*y+4)+'cd'(7*x+2)+'ef'=7*'ab'*y+4*'ab'+7*'cd'*x+2*'cd'+'ef' =>
'abcdef'-(4*'ab'+2*'cd'+'ef')=7('ab'*y+'cd'*x). Vedem o diferenţă divizibilă cu 7. Deducem că ele dau acelaşi rest la
împărţirea cu 7. In particular, dacă unul dintre ele dă restul 0, atunci şi celălalt dă restul 0.
Conform acestui criteriu numărul 'cccccc' este divizibil cu 7: 4*'cc+2*'cc'+'cc'=7*'cc'. La fel 'cdcdcd' este divizibil cu 7.
Cu aceste cunoştinţe rezolvarea ultimului punct este doar o problemă de compunere.
Am scris 'ab' în loc de ab barat.