Intr-un patrulater convex segmentul care uneste mijloacele diagonalelor este paralel cu o latura. Demonstrati ca patrulaterul este trapez.
Multumesc.
Problema cu patrulatere
Rezolvarea
Va vom da o rezolvare care se bazeaza pe teorema referitoare la linia mijlocie a unui triunghi: " O paralela dusa prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la o latura a triunghiului, va fi linie mijlocie a triunghiului, adica va trece prin mijlocul celei de a treia laturi" !
"Daca patrulaterul este ABCD, sa notam cu M mijlocul diagonalei [BD]
si cu N mijlocul diagonalei [AC]. Sa presupunem ca MN || BC.
Fie P si Q punctele de intersectie ale dreptei MN cu laturile [AB] si [CD].
In triunghiul ABC avem PN || BC, si cum N este mijlocul laturii AC,
conform toeremei amintite mai sus rezulta ca P este mijlocul lui [AB].
Acum, in triunghiul BAD, M si P sunt mijloacele laturilor [BD] si [BA],
deci PM este linie mijlocie, de unde PM || AD.
Cum P,M,N sunt coliniare, am obtinut astfel ca laturile AD si BC sunt paralele cu o aceeasi dreapta.
Rezulta ca AD || BC, adica patrulaterul ABCD este trapez !
"Daca patrulaterul este ABCD, sa notam cu M mijlocul diagonalei [BD]
si cu N mijlocul diagonalei [AC]. Sa presupunem ca MN || BC.
Fie P si Q punctele de intersectie ale dreptei MN cu laturile [AB] si [CD].
In triunghiul ABC avem PN || BC, si cum N este mijlocul laturii AC,
conform toeremei amintite mai sus rezulta ca P este mijlocul lui [AB].
Acum, in triunghiul BAD, M si P sunt mijloacele laturilor [BD] si [BA],
deci PM este linie mijlocie, de unde PM || AD.
Cum P,M,N sunt coliniare, am obtinut astfel ca laturile AD si BC sunt paralele cu o aceeasi dreapta.
Rezulta ca AD || BC, adica patrulaterul ABCD este trapez !