Sa se arate ca:
1) x+y/2 mai mare sau egal cu radical din xy
2) x=y+z+t /4 mai mare sau egal cu radical de ordinul 4 din xyzt
3) x+y+z/3 mai mare sau egal cu radical de ordinul 3 din xyz
oricare ar fi x,y,z,t mai mari ca 0.
Ideea mea era sa pornesc de la inegalitatea mediilor, dar cum as putea scrie?
Toate cele 3 subpuncte pe care le-ai enuntat sunt,de fapt,echivalente exact cu inegalitatea mediilor.
Se stie ca ,egalitate atingandu-se in cazul in care toate numerele luate in consideratie sunt egale.
Media aritmetica a n numere se calculeaza dupa formula:
Media geometrica a n numere se calculeaza dupa formua:
Pentru primul:calculam media artimetica a numerelor x si y:
Calculam media lor geometrica:
.Stim ca ,deci in cazul nostru,
ceea ce este echivalent cu ceea ce trebuia demonstrat.
La fel se face si pentru celelalte 2 subpuncte
Daca vrei sa demonstrezi inegalitatea mediilor poti, de exemplu, la 1) sa ridici la patrat inegalitatea (x,y pozitive), si prin gruparea termenilor obtii ceva de genul ceea ce e adevarat pentru orice a si b reale. Se observa ca egalitatea se obtíne pentru a = b …
Daca vrei sa te folosesti de inegalitatea mediilor (inegalitatea cunoscuta) nu mai trebuie sa demonstrezi nimic (decit sa scrii inegalitatea, )
Am înteles, multumesc mult de tot!