www.matematic.ro Forum.Matematic.Ro
matematica online
 
 FAQFAQ   CăutareCăutare   MembriMembri     ÎnregistrareÎnregistrare 
 ProfilProfil   Mesaje privateMesaje private   AutentificareAutentificare 

Puteri

 
Crează un subiect nou   Răspunde la subiect    Pagina de start a forumului Forum.Matematic.Ro -> Clasa a V - a
Subiectul anterior :: Subiectul următor  
Autor Mesaj
Anonym
obisnuit


Data înscrierii: 20/Noi/2012
Mesaje: 40

MesajTrimis: Dum Aug 18, 2013 8:45 am    Titlul subiectului: Puteri Răspunde cu citat (quote)

Determinati ultima cifra a numarului a=1+2^2+3^3+....+2013^2013

Am incercat sa-i grupez cate 10 termeni pentru a vedea daca nu cumva ultima cifra a fiecarei grupe este aceeiasi, adica 0. Rezultatul a fost diferit de 0. Cred ca am gresit undeva dar nu realizez unde.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat Trimite un mesaj
bedrix
important


Data înscrierii: 16/Dec/2010
Mesaje: 2734

MesajTrimis: Dum Aug 18, 2013 2:02 pm    Titlul subiectului: Răspunde cu citat (quote)

Observa ca avem numere de forma a, Nb barat, unde a si b sunt cifre
Iar N este numar de 1,2 sau 3 cifre
Avem a^a si Nb^Nb
Analizam u(a^a) ; u(1^1)=1 ; u(2^2)=4; u(3^3)=7 ; u(4^4)=6; u(5^5)=5;u(6^6)=6; u(7^7)=u(7^3)=3 ; u(8^8)=u(8^4)=6 ; u(9^9)=u(9^1)=9
Analizam u(Nb^Nb) =u(b^Nb);
Stim ca u(0^g)=0 ; u(1^c)=1 ; u(5^d)=5;u(6^f)=6 pentru orice g , c , d , f E N; u(b^k)=u(b^(4p+r))=u(b^r), unde r<4, perioada este 4 pentru b E {2,3,7,8}; perioada este 2 pentru b E {4,9} . Deci [1,2,4]=4 .
Ultima cifra se repeta la fiecare al X-lea numar natural consecutiv. Din [4,10]=20 rezulta ca la fiecare al 20 numar dintre termenii sumei se repeta ultima cifra
Deci u(1+2^2 + 3^3 +4^4 +…+2^20)=u(u(1^1) + u(2^2) + u(3^3) + u(4^4) + u(5^5) + u(6^6) + u(7^7) + u(8^8) + u(9^9) + u(0^10) + u(1^11) + u(2^12) + u(3^13) + u(4^14) + u(5^15)+u(6^16)+u(7^17)+u(8^18)+u(9^19)+u(0^20))=u(1+4+7+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0)=8
2013:20=100 rest 13 ; (100 grupe de cate 20 de cate 20 numere)
u(a)=u(8*100+ u(1^2001) + u(2^2002) + u(3^2003) + u(4^2004) + u(5^2005) + u(6^2006) + u(7^2007) + u(8^2008) + u(9^2009) + u(0^2010) + u(1^2011) + u(2^2012) + u(3^2013))=u(0+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3)=7
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Edna
obisnuit


Data înscrierii: 25/Aug/2013
Mesaje: 5

MesajTrimis: Lun Aug 26, 2013 10:41 am    Titlul subiectului: Răspunde cu citat (quote)

bedrix a scris:
Observa ca avem numere de forma a, Nb barat, unde a si b sunt cifre
Iar N este numar de 1,2 sau 3 cifre
Avem a^a si Nb^Nb
Analizam u(a^a) ; u(1^1)=1 ; u(2^2)=4; u(3^3)=7 ; u(4^4)=6; u(5^5)=5;u(6^6)=6; u(7^7)=u(7^3)=3 ; u(8^Cool=u(8^4)=6 ; u(9^9)=u(9^1)=9
Analizam u(Nb^Nb) =u(b^Nb);
Stim ca u(0^g)=0 ; u(1^c)=1 ; u(5^d)=5;u(6^f)=6 pentru orice g , c , d , f E N; u(b^k)=u(b^(4p+r))=u(b^r), unde r<4, perioada este 4 pentru b E {2,3,7,8}; perioada este 2 pentru b E {4,9} . Deci [1,2,4]=4 .
Ultima cifra se repeta la fiecare al X-lea numar natural consecutiv. Din [4,10]=20 rezulta ca la fiecare al 20 numar dintre termenii sumei se repeta ultima cifra
Deci u(1+2^2 + 3^3 +4^4 +…+2^20)=u(u(1^1) + u(2^2) + u(3^3) + u(4^4) + u(5^5) + u(6^6) + u(7^7) + u(8^Cool + u(9^9) + u(0^10) + u(1^11) + u(2^12) + u(3^13) + u(4^14) + u(5^15)+u(6^16)+u(7^17)+u(8^1Cool+u(9^19)+u(0^20))=u(1+4+7+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0)=8
2013:20=100 rest 13 ; (100 grupe de cate 20 de cate 20 numere)
u(a)=u(8*100+ u(1^2001) + u(2^2002) + u(3^2003) + u(4^2004) + u(5^2005) + u(6^2006) + u(7^2007) + u(8^2008) + u(9^2009) + u(0^2010) + u(1^2011) + u(2^2012) + u(3^2013))=u(0+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3)=7

Ultima cifra a lui 3^3 = 7 ? Nu 9 ?
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Afișează mesajele pentru a le previzualiza:   
Crează un subiect nou   Răspunde la subiect    Pagina de start a forumului Forum.Matematic.Ro -> Clasa a V - a Ora este GMT + 2 ore
Pagina 1 din 1

 
Mergi direct la:  
Nu puteți crea un subiect nou în acest forum
Nu puteți răspunde în subiectele acestui forum
Nu puteți modifica mesajele proprii din acest forum
Nu puteți șterge mesajele proprii din acest forum
Nu puteți vota în chestionarele din acest forum
Nu puteți atașa fișiere în acest forum
Nu puteți descărca fișiere în acest forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Varianta în limba română: Romanian phpBB online community