www.matematic.ro Forum.Matematic.Ro
matematica online
 
 FAQFAQ   CautareCautare   MembriMembri     InregistrareInregistrare 
 ProfilProfil   Mesaje privateMesaje private   AutentificareAutentificare 

Aflarea numarului de ordine a unui numar dintr-un sir

 
Creaza un subiect nou   Raspunde la subiect    Pagina de start a forumului Forum.Matematic.Ro -> Clasa a V - a
Subiectul anterior :: Subiectul urmator  
Autor Mesaj
alin89c
obisnuit


Data 1nscrierii: 02/Aug/2013
Mesaje: 36

MesajTrimis: Mar Oct 29, 2013 3:13 pm    Titlul subiectului: Aflarea numarului de ordine a unui numar dintr-un sir Raspunde cu citat (quote)

As dori sa stiu cum se afla numarul de ordine al unui termen dintr-un sir.
Cand e vorba de sirul: "1,2,3,...,988" e floare la ureche sa-mi dau seama al catulea termen este, de exemplu, 623. Problema apare cand am de-a face cu siruri in care se aplica alte reguli cum ar fi sirul numerelor impare, sau sirul numerelor pare, sau cand se scriu numere din 3 in 3 etc.
Intrebarea mea, mai concret, este: trebuie neaparat sa scrii tot sirul ca sa afli care este numarul de ordine al unui anumit termen, sau exista vreo metoda mai rapida?
Asa faceam pana acum, numarand de la primul numar la numarul care trebuia sa-i fie aflat numarul de ordine.

(mi-ar prinde bine un exemplu cu sirul numerelor impare)
"Calculati al catulea termen al sirului este: 21, 441, 9261.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Green eyes
important


Data 1nscrierii: 17/Apr/2012
Mesaje: 912
Locatie: Timișoara

MesajTrimis: Mar Oct 29, 2013 7:28 pm    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Salut,

Fie 1, 3, 5, 7, 9, ... șirul numerelor impare. Notăm cu a1 primul termen, a1=1, cu a2 al doilea termen, a2=3 și așa mai departe notăm cu an termenul de pe poziția n.

Vom încerca să determinăm o legătură (dacă există) între an și n.

În cazul acestui șir este destul de ușor:

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=an-1+2. Adunăm toate aceste n relații membru cu membru (acel 2 apare de n-1 ori):

a1+a2+a3+...+an-1+an=1+a1+a2+a3+...+an-1+2*(n-1), deci:

an = 1+2*(n-1)=1+2n-2=2n-1, deci an=2n-1

Dacă știm pe an=21, atunci numărul de ordine a lui 21 se află simplu din:

21=2n-1 => n=11

Similar, 441=2n-1 => n=221

Green eyes.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
alin89c
obisnuit


Data 1nscrierii: 02/Aug/2013
Mesaje: 36

MesajTrimis: Mar Oct 29, 2013 10:47 pm    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Citat:
an=an-1+2. Adunăm toate aceste n relații membru cu membru (acel 2 apare de n-1 ori):

a1+a2+a3+...+an-1+an=1+a1+a2+a3+...+an-1+2*(n-1), deci:

an = 1+2*(n-1)=1+2n-2=2n-1, deci an=2n-1

Câteva întrebări pe care mi le-am pus citind ce mi-ai scris:
Din primul rând:
1. Care sunt aceste n relații?
2. Ce înseamnă să aduni membru cu membru?
3. 2 apare de n-1 ori. De ce?

Am înțeles că:
a) fiecare termen este mai mare cu 2 decât antecedentul (exceptând primul termen, care n-are antecendent);
b) termenul al cărui număr de ordine trebuie să-l aflu este notat cu an, iar fiecare termen este notat cu: a1, a2, a3, ... ;
c) n se referă la numărul de ordine;
d) trebuie să ajung la un soi de ecuație în care trebuie să-l aflu pe n.


P.S. Știu că pentru tine și, în general, pentru cei mai performanți în domeniu înșiruirea de cifre și simboluri are o logică extraordinară și pare că nu există o cale mai potrivită pentru a face un "tăntălău la matematică" să priceapă. Dar, dacă ai putea folosi mai multe cuvinte în schimbul acestor exprimări matematice, m-ar/ne-ar ajuta mai mult. Apreciez foarte mult că mi-ai scris la postare, și mi-aș dori să am și cum să te răsplătesc, dar deocamdată apelez la dorința ta de a oferi ajutor celor în nevoie. Mulțumesc!
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Green eyes
important


Data 1nscrierii: 17/Apr/2012
Mesaje: 912
Locatie: Timișoara

MesajTrimis: Mie Oct 30, 2013 12:19 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Salut,

Întrebările tale au fost:

1). Care sunt aceste n relații?

Răspunsul la întrebarea 1: Cele n relații sunt:

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=an-1+2

Cum aflăm dacă sunt n relații ? Ne uităm la fiecare relație în parte, numai la membrul stâng și vedem că avem a1 - prima relație, a2 - a doua relație, și așa mai departe an, relația cu numărul n, deci în total sunt n relații.

2). Ce înseamnă să aduni membru cu membru?

Răspunsul la întrebarea 2: Uite un exemplu cu doar 2 relații:

m+n=p+r
b+d=h+f. Adunarea membru cu membru înseamnă să adun toți membrii stângi și separat toți membrii drepți, rezultatul ar fi:

m+n+b+d=p+r+h+f.

Se procedează similar și dacă sunt 3, sau mai multe relații.

3). 2 apare de n-1 ori. De ce?

Răspunsul la întrebarea 3:

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=an-1+2

De la punctul 1 știm că avem mai sus exact n relații. Observăm că acel 2 din "capătul" fiecărei relații apare la toate relațiile, cu excepția primei relații, deci 2 apare de n - 1 ori.

Paragraful cu părțile pe care le-ai înțeles este corect. Ca să fiu mai atent, numărul de ordine ar trebui să fie notat cu k, număr natural, k luând pe rând valorile 1, 2, ..., n.

Nu trebuie să fii atât de dur cu tine, nu ești deloc un "tăntălău la matematică", după felul în care scrii, te consider cu 10 clase peste enorm de mulți elevi din zilele noastre, care nu își cunosc limba maternă, ceea ce este foarte, foarte grav. Cred că ești un băiat foarte deștept, se vede clar că ai luat școala foarte în serios. Te felicit !

Dacă ai urmărit soluțiile propuse de mine pe acest forum, țin întotdeauna să precizez suficiente detalii și explicații cât mai clare și cât mai complete, pentru a ajuta cititorul să înțeleagă bine soluția.

Reacția ta mă ajută mult să văd dacă soluția propusă este înțeleasă cum trebuie sau nu, de aceea îți mulțumesc pentru întrebări, îmi face plăcere să îți răspund. Nu este nevoie de nicio răsplată, este plăcerea mea. Acel mulțumesc pe care l-ai scris deja este suficient.

Noapte bună !

Green eyes.


Ultima modificare efectuata de catre Green eyes la Mie Oct 30, 2013 9:11 pm, modificat de 1 data in total
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Green eyes
important


Data 1nscrierii: 17/Apr/2012
Mesaje: 912
Locatie: Timișoara

MesajTrimis: Mie Oct 30, 2013 9:38 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Salut,

Aș dori să adaug că soluția propusă de mine este scrisă astfel pentru că problema a fost publicată în secțiunea pentru elevii de clasa a V-a, care nu au studiat progresiile aritmetice.

Atunci când vei ajunge să re-studiezi matematica din clasa a IX-a, sau a X-a, vei redescoperi progresiile aritmetice, cu ajutorul cărora soluționarea problemei pare mult mai facilă. Acesta este motivul pentru care soluția propusă de mine este ușor elaborată.

Îți trimit adresa unui document de pe Internet unde vei găsi câteva noțiuni despre progresiile aritmetice:

http://www.math.md/school/rubrica/prog/prog.pdf

Mult succes ! O zi excelentă.

Green eyes.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
alin89c
obisnuit


Data 1nscrierii: 02/Aug/2013
Mesaje: 36

MesajTrimis: Mie Oct 30, 2013 11:08 pm    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Mi se pare un pic cam greu de priceput...

Deci 1:
În scăderea "an-1" are loc înlăturarea primului termen din totalitatea de termeni, iar poziția ultimului termen an (sau a termenului a cărei poziție am nevoie s-o aflu ak) este egală cu: an (sau ak, după caz) - 1 + 2.

Deci 2:
Eu gândesc următorul lucru (în cazul în care am nevoie să aflu poziția numărului 21):
an reprezintă pe 21 și totodată poziția acestui număr
Cum poate an să fie egal cu an-1+2? Dă-mi voie să expun o situație ipotetică:
Să zicem că a3 ar fi ultimul termen. Expresia "a3=a3-1+2" poate fi adevărată? Eu zic că da, dar am o oarecare nedumerire cu privire la rezultatul pe care-l obțin. Motivul: dacă scad 1 din a3 ajung la "a3=a2+2" (adică la conștientizarea faptului că ultimul termen este egal cu precedentul + 2). America!!! Razz Aici trebuia să ajung?
Dacă 2 apare de n-1 ori, nu trebuia scris "an=(an-1)*2", astfel încât totul să arate ca mai jos?

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=(an-1)*2

Iartă-mă, dar nu pot trece mai departe dacă nu înțeleg bine de ce ai scris: an=an-1+2.

Deci 3:
Eu caut să elaborez un model de rezolvare după următoarele:
a) ce întrebări trebuie să-mi pun? (ex: ce trebuie să aflu; de unde încep)
b) la ce trebuie să recurg în cazul în care una dintre înrebări nu se aplică? (ex: "Este vreo legătură între an și n" - dacă nu este, ce fac?)
c) cum pot ști că merg în direcția cea bună?
Dacă nu am un sentiment de siguranță mă împotmolesc și simt că mi se pune lacăt la "gânditor". De aceea caut detalii...


P.S. În cazul în care nu eu sunt "tăntălăul matematic", cine e atunci? Pentru că dacă tot nu reușesc să înțeleg care-i treaba cu numărul de ordine, tot tind să cred că eu sunt mate-tăntă-maticul. Very Happy

P.P.S.

Citat:
Atunci când vei ajunge să re-studiezi matematica din clasa a IX-a, sau a X-a, vei redescoperi progresiile aritmetice, cu ajutorul cărora soluționarea problemei pare mult mai facilă. Acesta este motivul pentru care soluția propusă de mine este ușor elaborată.

Îți trimit adresa unui document de pe Internet unde vei găsi câteva noțiuni despre progresiile aritmetice:

http://www.math.md/school/rubrica/prog/prog.pdf

Mulțumesc pentru document, dar e cam greu de digerat (deocamdată). Abia aștept să ajung în clasa a IX-a...

Citat:
Nu trebuie să fii atât de dur cu tine, nu ești deloc un "tăntălău la matematică", după felul în care scrii, te consider cu 10 clase peste enorm de mulți elevi din zilele noastre, care nu își cunosc limba maternă, ceea ce este foarte, foarte grav. Cred că ești un băiat foarte deștept, se vede clar că ai luat școala foarte în serios. Te felicit !


Mulțumesc. Tot ceea ce vreau este să nu rămân în urmă... Tatăl meu este scriitor. De la el am moștenit acest talent de a scrie corect.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
aurel5
important


Data 1nscrierii: 28/Mar/2012
Mesaje: 508

MesajTrimis: Joi Oct 31, 2013 4:38 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

alin89c a scris:
Mi se pare un pic cam greu de priceput...






alin89c a scris:


Deci 1:
În scăderea "an-1" are loc înlăturarea primului termen din totalitatea de termeni




alin89c a scris:
...an reprezintă pe 21 și totodată poziția acestui număr










Nu la fel de simplu e sa scriem toate numerele naturale impare pana la 441, iar apoi sa numaram cate numere avem, pentru a stabili pe ce loc (pozitie) se afla 441.







alin89c a scris:
... trebuie neaparat sa scrii tot sirul ca sa afli care este numarul de ordine al unui anumit termen, sau exista vreo metoda mai rapida?


Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Green eyes
important


Data 1nscrierii: 17/Apr/2012
Mesaje: 912
Locatie: Timișoara

MesajTrimis: Joi Oct 31, 2013 11:11 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Salut,

Observațiile lui Aurel sunt corecte. Aș adăuga că dacă primele relații sunt așa:

a2=a1+2 ,care se citește așa: al doilea termen al șirului (cel cu numărul de ordine 2) este egal cu primul termen al șirului (cel cu numărul de ordine 1, sau mai exact termenul imediat anterior) + 2;

a3=a2+2 ,care se citește așa: al treilea termen al șirului (cel cu numărul de ordine 3) este egal cu al doilea termen al șirului (cel cu numărul de ordine 2, sau mai exact termenul imediat anterior) + 2;

a4=a3+2 ,care se citește așa: al patrulea termen al șirului (cel cu numărul de ordine 4) este egal cu al treilea termen al șirului (cel cu numărul de ordine 3, sau mai exact termenul imediat anterior) + 2, atunci în mod logic și intuitiv

an=an-1+2, nu poate fi citit decât așa: al n-lea termen al șirului (cel cu numărul de ordine n) este egal cu al (n-1)-lea termen al șirului (cel cu numărul de ordine n-1, sau mai exact termenul imediat anterior, care este de fapt penultimul termen al șirului) + 2.

Cu alte cuvinte, acel an-1 se citește ca un tot unitar, nu se separă sub nicio formă an de -1, pentru că este termenul din șir cu numărul de ordine n-1. Dacă am face această separație, am obține ceva aberant, adică:

an=an -1 + 2=an + 1, de unde an=an+1, de unde ar rezulta că 0=1 ceea ce este absurd.

Greșeala este legată de scrierea aleasă de mine. Modul ales de Aurel este mai bun, pentru că se vede clar din scrierea lui că n-1 este un indice al lui a, nimic altceva.

Cred că ar fi fost mai bine să fi scris așa:

a_2 = a_1 + 2
a_3 = a_2 + 2
...
a_n = a_n-1 + 2, unde a_k este un identificator unic al termenului din șir, termenul a_k este al k-lea termen al șirului, k este număr natural nenul, k=1, 2, …, n-1, n, adică termenii șirului ar fi a_1, a_2, a_3, ..., a_n-1, a_n.

În cazul lui a_n-1 acel n-1 este indicele lui a, nu se separă sub nicio formă de a. Cea mai potrivită este scrierea în Latex (cea folosită de Aurel), care scriere arată cam așa:



Un model de rezolvare este cel propus de mine (vei ști de unde să începi, vei ști cum să procedezi pas cu pas, care este strategia de rezolvare, cum și unde trebuie să ajungi), modelul fiind relativ greoi pentru un elev de clasa a V-a, dar în clasa a V-a elevii nu au alte căi de atac a problemei, cum ar fi progresia aritmetică menționată de mine. Dacă am avea acest avantaj al cunoașterii metodei progresiei aritmetice, soluționarea ar fi mult, mult mai ușoară.

Încerc să-ți răspund la întrebarea ta: ce este de făcut dacă nu putem găsi prea ușor o dependență între an și n ? Soluția se găsește de la caz la caz, cred că ar fi dificil să propunem o soluție universal valabilă, adică discutăm având în față o problemă concretă. Având în vedere faptul că tu ai absolvit deja liceul, în cazul tău ar fi potrivit ca pe lângă metoda de mai sus (utilizabilă de elevii de clasa a V-a) să ai în “tolba” cu metode și cea legată de progresiile artimetice. Dacă soluția pe care ți-o dorești trebuie neapărat să fie calată pe cunoștințele clasei a V-a, atunci îți recomand metoda de mai sus.

Îți recomand să rezolvi singur câteva exerciții similare și cred că vei reuși să înțelegi mai bine. Practica te ajută mult să înțelegi teoria. Mult succes !

Green eyes.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
alin89c
obisnuit


Data 1nscrierii: 02/Aug/2013
Mesaje: 36

MesajTrimis: Vin Noi 01, 2013 12:46 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Multumesc, Aurel, pentru ca m-ai luminat. Ultimul paragraf m-a facut sa creez urmatoarea formula care poate fi aplicata la orice sir (chiar va rog sa verificati!):

d*[n+(a1-d):d]=an, unde
d=diferenta dintre oricare doi termeni alaturati,
n=pozitia lui an,
a1=primul termen,
an=numarul al carui nr. de ordine trebuie sa-l aflam.

Deocamdata nu stiu sa lucrez cu altfel de numere decat cu numere naturale, asa ca am folosit un calculator pentru a face impartirile care nu dau catul exact. La fel si in cazul in care am avut de scazut un numar mai mare dintr-un numar mai mic.

Exemplu de problema rezolvata cu aceasta formula:
Fie sirul: 19, 22, 25, ..., 64. Aflati ce pozitie ocupa numarul 61.
FORMULA:
d*[n+(a1-d):d]=an
3*[n+(19-3):3]=61
n+16:3=61:3
n=61:3-16:3 (numitor comun este 3)
n=45:3
n=15
=> Numarul de ordine a lui 61 este 15.

Multumesc mult de tot inca odata!
Pentru moment imi este de ajuns cat mi-ati scris. Daca mi-ati putea da o formula tot general valabila care sa nu implice calcule care sa dea cu minus, sau calcule in care deimpartitul nu este divizibil cu impartitorul...

O noapte buna va doresc!
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
alin89c
obisnuit


Data 1nscrierii: 02/Aug/2013
Mesaje: 36

MesajTrimis: Lun Noi 04, 2013 7:15 pm    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Am primit următorul mesaj pe privat de la un elev:
Citat:
Sunt boboc in clasa a V a si am urmarit cu interes subiectul prezentat. Va multumesc tuturor pentru explicatii.Am avut ca tema acest gen de exercitii si nu am stiut cum sa rezolv.Voi relua acele exercitii pe baza explicatiilor dumneavoastra.
Doresc o indrumare pentru rezolvarea primei paranteze a urmatorului exercitiu
Calculati (1*2*3*...*15)/(1+2+3+...+15)

unde * este semnul inmultirii
suma la a doua paranteza este 120.
Va multumesc !


Răspunsul meu în ce privește explicarea celei de-a doua paranteze l-am introdus într-un fișier pdf. Deschideți de aici: http://corarmoniabacau.files.wordpress.com/2013/11/progresii.pdf

Dacă puteți explica cum se rezolvă produsul șirului: 1*2*3*...*15 mi-ar fi și mie de folos.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Green eyes
important


Data 1nscrierii: 17/Apr/2012
Mesaje: 912
Locatie: Timișoara

MesajTrimis: Mar Noi 05, 2013 12:26 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Salut,

Atenție mare !!! 1*3*5*...*15 NU este o progresie geometrică, este doar o înmulțire a primelor 8 numere naturale impare.

O progresie este de fapt o enumerare de termeni, fiecare termen în afară de primul este egal cu termenul imediat precedent înmulțit cu rația progresiei geometrice.

Exemplu de progresie geometrică, cu rația egală cu 3:

Revenim la problema inițială: deși produsul 1*3*...*15 are doar 8 termeni nu este neapărată nevoie să efectuăm acest produs. Ar fi cam dificil și inutil.

Știm că numitorul este egal cu 120, deci va trebui să identificăm acei termeni de la numărător al căror produs este egal cu 120, pentru a simplifica fracția cu 120. Din păcate, nu vom putea simplifica pe de-antregul, pentru că 120 este număr par, iar produsul de la numărător este număr impar.

120=8Ś15, deci vom putea simplifica doar cu 15, rezultatul este:

Green eyes.
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
aurel5
important


Data 1nscrierii: 28/Mar/2012
Mesaje: 508

MesajTrimis: Mar Noi 05, 2013 9:27 am    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

alin89c a scris:
Am primit următorul mesaj pe privat de la un elev:
Citat:
Sunt boboc in clasa a V a si am urmarit cu interes subiectul prezentat. Va multumesc tuturor pentru explicatii.Am avut ca tema acest gen de exercitii si nu am stiut cum sa rezolv.Voi relua acele exercitii pe baza explicatiilor dumneavoastra.
Doresc o indrumare pentru rezolvarea primei paranteze a urmatorului exercitiu
Calculati (1*2*3*...*15)/(1+2+3+...+15)

unde * este semnul inmultirii
suma la a doua paranteza este 120.
Va multumesc !


Răspunsul meu în ce privește explicarea celei de-a doua paranteze l-am introdus într-un fișier pdf. Deschideți de aici: http://corarmoniabacau.files.wordpress.com/2013/11/progresii.pdf

Dacă puteți explica cum se rezolvă produsul șirului: 1*2*3*...*15 mi-ar fi și mie de folos.


Continutul fisierului pdf este "obositor". Ar trebui eliminat (sters) de acolo, dar si din memorie.

Lucrurile sunt mult mai simple (!!)

Nu exista o formula (prescurtata) pentru calculul produsului 1*2*3* ... *15
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
alin89c
obisnuit


Data 1nscrierii: 02/Aug/2013
Mesaje: 36

MesajTrimis: Mar Noi 05, 2013 12:47 pm    Titlul subiectului: Raspunde cu citat (quote)

Citat:
Atenție mare !!! 1*3*5*...*15 NU este o progresie geometrică, este doar o înmulțire a primelor 8 numere naturale impare.

Am omis un paragraf...
Citat de pe wikipedia: "În matematică, progresia este un șir de numere care derivă unul din altul urmând anumite reguli."
Vasăzică nici 1*2*3*...*15, nici 1+2+3+...+15 nu sunt progresii, ci exprimă ori o sumă (neefectuată), ori un produs (neefectuat).

Motivul pentru care am crezut că 1*2*3*...*15 este progresie geometrică:
Citat de pe wikipedia: "Progresiile cele mai frecvent folosite sunt progresia aritmetică și progresia geometrică. Fiecare dintre acestea are caracteristică o anumită operație (în care intervine numărul anterior din șir și o constantă), și anume adunarea în cazul progresiilor aritmetice și înmulțirea în cazul celor geometrice."
în 1*2*3*...*15 avem semnul înmuțirii. Deci este prezentă operația de înmulțire.

Citat de pe wikipedia:"Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant;"
în 1*2*3*...*15 avem un raport constant între oricare doi termeni consecutivi. Îl avem pe 1 ca rație.

Acum, începând să descifrez formula pentru progresia geometrică, am aflat că nu am dreptate când zic: "1*2*3*...*15 este progresie geometrică":
Citat de pe wikipedia:
Pe baza explicațiilor date de Green Eyes am reușit cât de cât să citesc formula. Oare e corect?
"Oricare termen (înafară de primul) este egal cu termenul imediat anterior înmulțit cu rația". Sau: "Oricare termen (tot înafară de primul) este egal cu primul termen înmulțit cu rația la puterea poziției termenului anterior.


Rația r este egală cu diferența dintre oricare doi termeni alăturați, da?
Acest lucru îmi confirmă formula (tot de pe wikipedia): r = ak - ak-1 (litera k este un pic mai jos de a; la fel și "k-1")

Aaaa, dar stai că acum am observat ceva interesant! Sunt două tipuri de rații. Rația progresiei aritmetice notată cu r, și rația progresiei geometrice notată cu q. Care-i formula rației la progresia geometrică? Deci q = ... ???


Citat:
Continutul fisierului pdf este "obositor". Ar trebui eliminat (sters) de acolo, dar si din memorie.

Lucrurile sunt mult mai simple (!!)


Vasăzică tot ce-am scris în fișierul pdf e corect și logic? Doar am complicat lucrurile?

Citat:
Nu exista o formula (prescurtata) pentru calculul produsului 1*2*3* ... *15

Nu există sau nu știi de existența vreuneia? Pentru că ar putea fi inventată Very Happy
Sus
Vezi profilul utilizatorului Trimite mesaj privat
Afiseaza mesajele pentru a le previzualiza:   
Creaza un subiect nou   Raspunde la subiect    Pagina de start a forumului Forum.Matematic.Ro -> Clasa a V - a Ora este GMT + 2 ore
Pagina 1 din 1

 
Mergi direct la:  
Nu puteti crea un subiect nou in acest forum
Nu puteti raspunde in subiectele acestui forum
Nu puteti modifica mesajele proprii din acest forum
Nu puteti sterge mesajele proprii din acest forum
Nu puteti vota in chestionarele din acest forum
Nu puteți atașa fișiere în acest forum
Nu puteți descărca fișiere în acest forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Varianta în limba română: Romanian phpBB online community